Материал: 1973

Если вблизи точки А вырезать бесконечно малый параллелепипед с гранями, нормали к которым совпадают с осями x, y, z, то можно увидеть полную картину напряжений (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Обозначение и ориентация компонентов напряженного состояния

Итак, напряженное состояние в точке твердого деформируемого тела характеризуется девятью компонентами напряжений, которые принято записывать в виде тензора напряжений

( xy xz yz ), напряженное состояние в точке можно описать ше-

стью компонентами.

Понятие о деформациях рассмотрим на примере растяжения стержня длинной L постоянного квадратного сечения а·а (рис. 1.8).

При растяжении стержня изменяются его размеры, при этом величины L = L(P) – L , а = а(P) – а называются абсолютными изменениями размеров. Величины

L x ,

L

a y z a

11

называются относительными изменениями размеров или линейными деформациями. Существует линейная зависимость между продоль-

ными z и поперечными деформациями

y x = - x ,

где μ – коэффициент Пуассона (физическая постоянная материала). Так, для конструкционных сталей = 0,25 – 0,3.

Рис. 1.8. Деформации в стержне

Кроме изменения размеров тела при нагружении следует различать угловую деформацию, которая отражается изменением прямого угла, изображенного в какой-либо плоскости тела. На рис. 1.8 изображена угловая деформация (угол сдвига) в осях 1-2: 12 1 2 .

Угловая деформация приводит к изменению формы тела.

В пределах малых (упругих) деформаций существует линейная зависимость между напряжениями и деформациями (рис.1.9). Эта зависимость носит название закона Гука.

Рис. 1.9. Иллюстрация к закону Гука

Таким образом, в пределах упругих деформаций справедливы соотношения

σ = E·ε,

τ = G·γ,

12

где коэффициенты пропорциональности E и G называются соответственно модулями упругости первого (модуль Юнга) и второго рода.

1.5. Внутренние силы как интегральные характеристики напряжений

Определим внутренние силы путем интегрирования (суммирования) напряжений, действующих в точках плоскости сечения

(рис.1.10) [1,2]

Рис. 1.10. Внутренние силы как интегральные характеристики напряжений

На бесконечно малой площадке dA = dx · dy продольная сила dN = σz· dA. Если взять двойной интеграл по всей площади сечения, то получим полную продольную силу в сечении

N (x) z (x, y)dA. (1.15)

A

Аналогичным образом составим выражения остальных внутренних сил

Qy (x) xy ( y, z) dA;

A

Qz (x) xz ( y, z) dA;

A

M y (x) x ( y, z) z dA;

A

M z (x) x ( y, z) y dA;

A

M k (x) ( xz ( y, z) y xy ( y, z) z) dA.

A

13

1.6. Геометрические характеристики поперечных сечений

Статическими моментами площади сечений называются интегралы следующих видов (рис. 1.11) [3]

S x ydA;

A

S y xdA.

A

Размерность статических моментов м3, см3.

Статический момент площади сечения может быть больше нуля, меньше нуля и равным нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

Следовательно, пересечение центральных осей дает центр тяжести сечения.

Исходя из свойств определенного интеграла, который можно вычислять по частям, получаем, что статический момент площади сложного сечения равен сумме статических моментов площадей его частей.

1.7. Определение положения центра тяжести

Рассмотрим изменение статического момента площади при параллельном переносе осей координат (рис.1.12),

Рис. 1.12. Определению статических моментов относительно параллельно перенесенных осей

14

где x, y – исходные оси координат, x1, y1 – перенесенные оси координат.

y1 = y – a; x1 = x – b.

По определению

Sx1 ( y a)dA ydA a dA Sx aA;

A A A

S y1 (x b)dA xdA b dA S y bA.

A A A

Таким образом, чтобы оси стали центральными, их нужно сместить на расстояние, равное

Sx1 Sx aA 0;

a yc SAx .

S y1 S y bA 0; b xc SAy .

1.8. Моменты инерции сечений

Моментами инерции сечений называются интегралы вида [3]:

– осевой момент инерции относительно оси x

I x y 2 dA;

A

– осевой момент инерции относительно оси y

I y x2 dA;

A

– центробежный момент инерции сечения

I xy xydA;

A

– полярный момент инерции сечения

I 2 dA;

A

Размерность статических моментов м4, см4

15