Материал: 1925

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений: формул, функций, уравнений, систем уравнений, описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса. На этапе выбора математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются линейность или нелинейность, динамичность или статичность, степень детерминированности исследуемого объекта, процесса, а также стационарность или нестационарность, дискретность и непрерывность.

Линейность устанавливается по характеру статической характеристики исследуемого процесса, например у = f(x) или у = f(τ). Если между входным сигналом х (параметр) или τ (время) и выходной характеристикой у (под у понимается изменение выходного сигнала, например, во времени) имеется линейная зависимость, как показано на рис. 3.7, а, то математическая модель линейная и представляет собой уравнение прямой

			у = а + bх или у = а – bτ,						(3.12)
							И
где а и b					Д
где а и b	− постоянные коэффициенты.
Нелинейность статической характеристики, например, как
показано на рис. 3.7,			, свидетельствует				о том, что должна быть
	и
принята	нелинейная	математическаяАмодель, описываемая							урав-
нением параболы второй степени или уравнением кубической па-
раболы:	С		б
			у = а + bх + сх2;						(3.13)
			у	= а + bτ + сτ		2	3	.
			у	= а + bτ + сτ			+ dτ	.

Нелинейность статической характеристики в более сложном виде, как показано на рис. 3.7, в, может быть описана полиномом

y = a+bx+cx2 + … + fτn

(3.14)

или более сложными выражениями.

		И
		И	τ
			τ
	б
	б	Д
		Д
	Ав		τ
			τ
Рис. 3.7. Характер зав	с мости статической характеристики:
Рис. 3.7. Характер зав	с мости статической характеристики:
С
а − линейной; б −бнел нейной; в − сложной (полиномной)
Математическиеимодели могут быть детерминированными и
стохастическими.
Детерминированные	модели − это модели, в которых

установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными, описывающими объект или явления.

Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае

получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных, описывающих объект или явление. По характеру режимов модели бывают

статическими и динамическими.

Статичность и динамичность объекта устанавливается по поведению его характерных показателей.

Статическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.

В динамической модели описываются связи между основными

переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима
к другому.	И

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также

смешанного типа. В непрерывных переменныеД принимают значения

из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения [39].

Определение общих вышеотмеченных характеристик иссле-

дуемого объекта позволяет выбрать математический аппарат, на базе которого строится математическая модель. Выбор математического

модель. Выбор математ ческогобаппарата может быть осуществлен в соответствии со схемой, представленной на рис. 3.8.

аппарата не является однозначным.
и
Установление общих характеристикА	объекта позволяет выбрать
математический аппарат, на азе которого строится математическая
С

Как видно из данной схемы, выбор математического аппарата не является однозначным и жестким. Для описания сложных объектов с большим количеством параметров возможно разбиение объекта на элементы (подсистемы), установление иерархии элементов и описание связей между ними на различных уровнях иерархии. Особое место на этапе выбора вида математической модели занимает описание преобразования входных сигналов в выходные характеристики объекта.

Если на предыдущем этапе было установлено, что объект является статическим, то построение функциональной модели осуществляется при помощи алгебраических уравнений. При этом кроме простейших алгебраических зависимостей используются регрессионные модели и системы алгебраических уравнений.

Объект исследования

Детерминированный		Вероятностный

Дифференциальные

Динамический

Нестационарный

уравнения

Интегральные уравнения

Уравненияв частных производных

автоматическогоТеория управления

Алгебра

ТеорияслучайныхпроцессовИТеориямарковских

Теория автоматов

Дифференциальные

процессов

уравнения

Стационарный

Статический

Дифференциальные

Теория

уравнен я

вероятностей

Алгебра

Теория

информации

Алгебра

Рис. 3.8. Математический аппарат для построения математической модели

Если заранее известен характер изменения исследуемого показателя, то число возможных структур алгебраических моделей резко сокращается и предпочтение отдается той структуре, которая выражает наиболее общую закономерность или общеизвестный закон.

Если характер изменения исследуемого показателя заранее неизвестен, то ставится поисковый эксперимент. Предпочтение отдается той математической формуле, которая дает наилучшее совпадение с данными поискового эксперимента.

3.3. Общий подход к построению математических моделей

Изучение математической модели всегда связано с некоторыми правилами действия над изучаемыми объектами. Эти правила отражают связи между причинами и следствиями.

Разработка математической модели − это центральный этап исследования или проектирования любой системы. От качества модели зависит весь последующий анализ объекта. Модель должна быть достаточно точной, адекватной и удобной для использования.

В самом общем виде математическая модель может быть

представлена в виде = ( 1, … ; 1, … );						(3.15)
( 1, … ; 1, …					) = 0;
	= 1, … , ,				И
где W – критерий эффективности;			Д			управляемые
			xi	(i = 1, ..., m) –
переменные; yj (j = 1,	..., n)	–	неуправляемые переменные или
случайные воздействия;	qk (k =	1,	...,	p)	– функции,	выражающие

ограничения. Обычно речь идет о нахождении оптимума критерия
	б
эффективности при соблюдении данных ограничений.
С точки зрения соотношения причинно-следственных связей
и
все задачи математ ческого моделированияА		можно разделить на два
больших класса: прямые	о ратные.
С
Прямая задача решается тогда, когда все параметры
исследуемой системы	звестны и изучается поведение модели в

различных условиях для извлечения полезного знания об объекте (известны причины, необходимо найти следствия). К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства которых и конфигурация известны. Эти задачи к настоящему времени достаточно хорошо изучены и составляют сущность одного из важнейших разделов современной математики – уравнений математической физики или уравнений в частных производных.

Обратные задачи решаются в случаях, когда известны следствия, нужно найти причины. Обратные задачи бывают задачами

распознавания, синтеза и проектирования управляющих систем.

Задача распознавания состоит в определении параметров модели путем сопоставления наблюдаемых данных и результатов

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)