Материал: 1925

При использовании регрессионного анализа важно правильно выбрать вид и степень сложности регрессионной модели. Классический путь состоит в учете ряда предпосылок, а качество полученной модели оценивается по величине остаточных отклонений. Возможен способ проверки гипотезы линейности по остаточным отклонениям – вычисляется показатель нелинейности и производится проверка достоверности его отличия от нуля по критерию Фишера. Другой подход заключается в следующем: при малых выборках сложность регрессионной модели должна быть тем меньше, чем меньше объем выборки, имеющейся в распоряжении исследователя. Разработаны критерии оптимальной сложности регрессии в зависимости от дисперсии остаточных отклонений и объема выборки.

Факторный анализ − совокупность методов исследования многомерных признаков за счет сниженияИих размерности (путем введения так называемых общих факторов, которые непосредственно наблюдаться не могут). При анализеДв один фактор объединяются сильно коррелирующие между собой переменные. Как следствие происходит перераспределение дисперсии между компонентами и получается максимально простаяАи наглядная структура факторов. После объединения коррелированность компонент внутри каждого фактора между собой будетбвыше, чем их коррелированность с компонентами из других факторов. Эта процедура также позволяет выделить латентныеи(скрытые) переменные. Например, анализируя оценки, полученные по нескольким шкалам, исследователь замечает, что они сходныСмежду собой и имеют высокий коэффициент корреляции; он может предположить, что существует некоторая латентная переменная, с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Такую латентную переменную называют фактором. Данный фактор влияет на многочисленные показатели других переменных, что приводит к возможности и необходимости выделить его как наиболее общий, более высокого порядка.

Для начала проведения факторного анализа необходимо соблюдение следующих обязательных условий:

-все признаки должны быть количественными;

-число наблюдений должно быть не менее чем в два раза больше числа переменных;

-выборка должна быть однородна;

66

-исходные переменные должны быть распределены симметрично;

-факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.

Недостатком факторного анализа является трудность содержательной интерпретации общих факторов.

Кластерный анализ – группа методов статистической

обработки, которая включает методы классификации объектов, в т. ч. автоматические, на основе их сходства. Кластерный анализ, как и факторный, «сжимает» информацию. Но если факторный анализ снижает размерность пространства признаков, то кластерный уменьшает число рассматриваемых объектов. Совокупность объектов

объект, характеризующий ее. Кластерный анализ включает методы,

разбивается на кластеры – группы объектов, обладающие сходными свойствами, поэтому вместо всей группы можноИрассматривать один

которые исходно не принимают во вниманиеДвероятностную природу

обрабатываемых данных. При постановке задач кластеризации число кластеров, на которое должно быть разбито исходное множество объектов, может задаваться Азаранее или выявляться в процессе решения.

Алгоритмы кластерногобанализа направлены на получение наилучшего в определенном смысле качества разбиения совокупности объектовина группы.

Распознаван е о разов. Характерной особенностью одного из подходов к разработкеСалгор тма распознавания является применение обучающей выборки. В качестве обучающей выборки используется группа объектов с заранее установленным классом принадлежности. При реализации другого подхода распознавания задача состоит в поиске такого способа классификации, который позволяет получать наилучшее разбиение групп объектов на классы (образы). Разработано большое число подходов к распознаванию образов. Наиболее часто применяются методы дискриминантного анализа, метод Бейеса, метод обобщенного портрета, метод ближайшего соседа.

Другие методы прикладной статистики (исследование временных рядов и краткосрочное прогнозирование развивающихся во времени процессов, планирование эксперимента и др.) учитывают специфику задач и возможности использования для их решения ЭВМ.

67

Если для решения каких-либо задач не удается найти строгие формальные методы, то прибегают к интуитивно найденным способам, эффективность которых проверяется на практике. Поскольку подобные приемы являются результатом и имитируют интеллектуальную деятельность человека, они получили название эвристик. Эвристические методы применяются для таких задач анализа данных, как классификация, распознавание образов и т. п.

Математическое моделирование систем является вторым кардинальным направлением применения математических методов в науке. Основным понятием, используемым при таком анализе, является математическая модель системы.

При математическом моделировании выделяют два

структуры систем, принципов ее функционирования, оценку роли и

независимых круга задач, в которых используют модели. Первый носит теоретический характер и направленИна расшифровку

потенциальных возможностей конкретныхДрегуляторных механизмов

и т.п. Модели, создаваемые для таких задач, носят название интегрированных (интегральных). В них стремятся наиболее полно учесть имеющиеся данные о структуре системы, ввести максимально возможное число параметров и переменных. По мере накопления знаний об объекте в интегрированных моделях наблюдается

требования верификации, т.е. обеспечить качественное совпадение основных процессов в модели и оригинале, непротиворечивость модели исходным теориям и фактам, то при разработке минимальных моделей требования к их адекватности возрастают. Индивидуализация математического описания требует специальной процедуры, называется идентификацией. Идентификация – количественный выбор параметров модели, дающий наиболее близкое совпадение с результатами контрольных экспериментов (например, в смысле минимума среднеквадратической ошибки или по другим статистическим критериям). Разработаны многочисленные методы идентификации, позволяющие решить эту задачу для

68

линейных моделей. В нелинейных случаях для идентификации применяют компьютерные процедуры (в т.ч. эвристические).

Выбор тех или иных математических методов зависит как от индивидуальных знаний специалиста, так и от особенностей решаемых задач. Например, статистические методы дают полное решение задачи во всех случаях, когда исследователя не интересует внутренняя сущность процессов, лежащих в основе изучаемых явлений. Когда знания о структуре системы, механизмах ее функционирования, протекающих в ней процессах и возникающих явлениях могут существенно повлиять на решения исследователя, прибегают к методам математического моделирования систем [37].

3.2. Характеристика математического моделирования. Классификация математическихИмоделей

строительный материал и инструменты этих моделей −

математические понятия. Они накапливались и совершенствовались в

течение тысячелетий. Современная математика дает исключительно

мощные и универсальные средства исследования. Практически

Особую роль в науке играютДматематические модели,

начиная от понятия числаб, являетсяАматематической моделью. При построении математическойимодели, изучаемого объекта или явления выделяют те его осо енности, черты и детали, которые, с одной стороны, содержатСболее ли менее полную информацию об объекте,

каждое понятие в математике, каждый математический объект,

а с другой допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что особенностям и деталям объекта можно поставить в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями и составными частями, можно записать с помощью математических отношений: равенств, неравенств, уравнений. В результате получается математическое описание изучаемого процесса или явление, то есть его математическая модель.

Математическая модель − это математическое представление реальности. Является частным случаем понятия модели как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

69