Материал: 1925
А |
И |
|
|
Рис. 3.2. Кривая нормального закона |
|
распределения (закона Гаусса) при |
|
б |
|
уменьшении значенияДσ
Оценка математического ожидания а по выборке (называемая выборочным средн м) тоже является случайной величиной. Она описывается так называемым распределением Стьюдента. Это
распределение зав с т от числа наблюдений (числа степеней |
|||||||
свободы). Его плотностьизадаётся формулой |
|
|
|
|
|||
С |
Г +1 |
|
|
− |
+1 |
|
|
( ) = |
Г |
|
|
2 |
2 , |
(3.7) |
|
√ 2 |
2 1 + |
|
|
|
|
||
где Г – гамма-функция Эйлера; n – число степеней свободы.
Кривые распределения Стьюдента (для различных значений n) изображены на рис. 3.3.
61
|
И |
Рис. 3.3. Кривые плотности распределения Стьюдента |
|
Д |
|
(для различных значений n) |
|
Критерий (коэффициент) Стьюдента используется для оценки |
|
А |
|
и сравнения средних значений нормально распределенных случайных |
|
величин. Имеется обобщение закона и критерия Стьюдента на |
|
многомерный случай. |
б |
|
|
Выборочная дисперсия D также является случайной |
|
и |
|
величиной, распределен е которой получило название распределения |
|
Пирсона χ2. Если случайная величина x подчиняется закону χ2(n), то её плотность распределен я вероятностей есть
С |
|
> 0 |
; |
|
(3.8) |
||
|
. |
||
Г |
|
|
|
( ) = 2 ⁄21 ( ⁄2)−1 − ⁄2, |
|
||
Кривые распределения2 |
Пирсона (для различных значений n) |
||
изображены на рис. 3.4.
62
|
|
2 |
|
И |
|
|
|
|
Д |
Рис. 3.4. Кривые плотности распределения Пирсона (для различных значений n) |
||||
Таблицы значений χ2 включены во все пособия по статистике. |
||||
На основании распределения χ |
|
строятся доверительные интервалы |
||
случайных величин. |
б |
|
||
Для сравнения выборочных дисперсий двух серий наблюдений |
||||
используют |
распределение |
Фишера, которое зависит от числа |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
степеней свободы обеих вы орокАи также представлено в табличной |
|||||||||||||||||||
форме. Оно имеет следующую плотность вероятности: |
|
|
|||||||||||||||||
( ) = |
Г |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
; |
|
||||
1 |
Г |
|
|
|
1+ 2 , |
> 0 |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
||||||||
|
|
ГС1 + 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
( ⁄2)−1 |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 + |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Кривые распределения Пирсона [для различных значений F (критерия Фишера)] показаны на рис. 3.5.
63
Рис. 3.5. Кривые плотности распределения Фишера (для различных значений F)
Критерий Фишера (F-критерий) применяется для сравнения |
||||
|
|
|
|
И |
выборочных дисперсий и формирования оценок в регрессионном, |
||||
дисперсионном и дискриминантном анализе. |
||||
|
|
|
Д |
|
|
|
А |
|
|
|
б |
|
|
|
и |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
Рис. 3.6. Кривые плотности распределения Пуассона |
||||
(для различных значений k) |
||||
Перечисленные типы распределений относятся к непрерывным |
||||
случайным величинам. Для дискретных случайных величин
используется распределение Пуассона (закон редких явлений) (рис. |
|||||
3.6): |
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
, |
(3.10) |
|
|
64 |
|
|
|
где М – значение математического ожидания и равное ему значение дисперсии, Pk – вероятность того, что случайная величина принимает значение, равное k (здесь k – любое целое число).
Для таких же величин применяется закон распределения числа взаимоисключающих событий при конечном числе испытаний (биномиальное распределение). Эти распределения употребляются для описания случайных значений параметров.
Регрессионный анализ. Регрессией называется зависимость среднего значения одной случайной величины от некоторой другой (или от нескольких случайных величин), а регрессионным анализом – раздел математической статистики, объединяющий прикладные методы исследования регрессионных зависимостей. Регрессионный
анализ приобрел большую популярность в связи с распространением |
||||
ЭВМ. |
|
|
И |
|
|
|
|
|
|
Если xi и yi − наблюдаемые случайные величины; ei – случайная |
||||
|
|
|
Д |
|
ошибка с нулевым математическим ожиданием, то регрессия |
||||
записывается в виде |
|
|
||
|
|
yi = f (xi) + ei, i = 1, 2,..., N, |
(3.11) |
|
где f – функция регрессии. |
|
|
||
Если xi |
– скалярная величина (число), то регрессия называется |
|||
|
|
и |
|
|
парной (связывающей пару случайныхАвеличин), если xi – вектор, то |
||||
множественной. |
|
|
|
|
С |
|
нахождение |
||
Задачей |
|
регресс бонного анализа является |
||
«наилучшей» функц f, оп сывающей зависимость у от х. Оценка производится либо по методу наименьших квадратов, либо по методу максимума правдоподобия (что возможно только при известном распределении величин у).
Допущения, принимаемые при регрессионном анализе:
-количество наблюдений достаточно для проявления статистических закономерностей относительно факторов и их взаимосвязей;
-обрабатываемые данные содержат некоторые ошибки (помехи), обусловленные погрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных факторов;
-матрица результатов наблюдений является единственной информацией об изучаемом объекте, имеющейся в распоряжении перед началом исследования.
65