Материал: 1753

чиная с её вершины.

То или иное расположение нагрузки зависит от количественных значений каждой из нагрузок, составляющих данную подвижную систему. В случае, когда подвижная нагрузка представляет собой равномерно распределённую нагрузку, экстремальным будет такое (рис. 2.19) расположение этой нагрузки, когда ординаты этой линии влияния, находящиеся в начале и конце действия распределённой нагрузки ун и ук, будут равны между собой.

При загружении треугольной линии влияния системой сосредоточенных подвижных сил (рис. 2.20), когда вершина линии влияния находится на расстоянии а от её начала, любое усилие можно найти исходя из выражения

Если предположить, что вся система нагрузок сдвинулась вправо или влево, значение усилия получит приращение dS. В правой части равенства (2.13) ординаты изменятся на величину dx tg k. Тогда

a

Рис. 2.20

25

Сумма, стоящая в правой части равенства (2.14), представляет собой значение первой производной от величины S . Известно, что функция достигает своего экстремального значения, когда её первая производная равна нолю. В соответствии с этим

Но так как углы наклона 1, 2, …, k, …, n линии влияния остаются без изменения, выражение (2.15) может обратиться в ноль при условии, если изменяются величины некоторых сил F. Последнее условие возможно только при переходе какой-либо силы, называемой Fкр, через вершину линии влияния, что пзволило получить неравенства (2.16), определяющие экстремальное положение над треугольной линией влияния системы сосредоточенных подвижных нагрузок:

В практике расчёта конструкций транспортных сооружений часто используют так называемую эквивалентную нагрузку. Эквивалентной называется такая равномерно распределённая нагрузка интенсивностью qэ, которая создаёт в рассматриваемом сечении такое же усилие, какое вызывает система из сосредоточенных нагрузок, установленная в экстремальном положении.

При загружении линии влияния любого усилия системой сосредоточенных нагрузок усилие может быть найдено по выражению (2.6)

n

SF Fi yi . По данному определению эквивалентной нагрузки уси-

При решении многих задач строительной механики удобным оказывается использование матричного аппарата линейной алгебры.

На основании принципа суперпозиций запишем аналитические выражения для определения любых внутренних усилий S в различных сечениях стержня, подверженного действию системы сосредоточенных сил.

действия силы Fj 1. В матричной форме эта система уравнений мо-

жет быть записана в виде

28

Из выражения (2.21) видно, что элементами матрицы влияния являются ординаты линий влияния того усилия, матрица влияния которого строится.

При определении усилий в матричной форме любая задача решается шире, чем это имеет место при определении усилия с помощью линии влияния. В этом случае охватывается сразу несколько сечений рассматриваемой конструкции. Размер матрицы влияния Ls зависит от числа участков, на которые разбивают рассчитываемую конструкцию.

Рассмотрим, например, построение матрицы влияния Lm моментов. Для этого возьмём двухопорную шарнирно опёртую с обеих сторон балку (рис. 2.23), разделённую на пять (n) равных по длине участков. Длина каждого участка d= n. Если в точках 1,2,3,4 приложены

какие-то сосредоточенные силы F, то изгибающий момент М в каждом из этих сечений определится в соответствии с (2.19) из выраже-

ний (2.21):

В матричной форме выражения (2.22) примут вид M Lm F , где

М вектор-столбец искомых моментов; F вектор-столбец внешних нагрузок.

29