Материал: 1753
D 
_
F=1
RА |
К |
|
|
|
|
φк |
С |
RВ |
f |
||
|
|||||
А |
|
|
|
|
|
xк |
ℓ1 |
|
ℓ2 |
В |
|
xN |
|
||||
|
|
||||
|
ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л.в. Nак |
|
sin φк |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.12 |
|
|
||
К1 |
|
|
φк |
|
|
RА |
|
_ |
RВ |
f |
|
|
В |
||||
А |
φк |
F=1 |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
cos φк |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л.в. Qак |
||
xQ |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 3.13 |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
F=1 |
|
|
К2 |
|
|
А |
φк |
В |
f |
|
RА |
RВ |
|
cos φк2 |
|
|
|
|
|
Л.в. Qак |
|
|
xQ |
|
|
|
|
Рис. 3.14 |
|
3.4. Определение напряжений в сечениях арки |
|
||
Нормальные напряжения в поперечных сечениях арки, испытывающих деформацию внецентренного сжатия, определяют по формуле, известной из курса сопротивления материалов:
|
N |
|
M |
e, |
(3.15) |
|
|
||||
|
A J |
|
|||
где А площадь поперечного сечения арки; J момент инерции сечения; е расстояние от нейтральной линии сечения до той точки, в которой определяется напряжение.
Наибольшее значение напряжения будет соответствовать загружению линий влияния для нормального усилия N и изгибающего момента М на экстремум. Из сопоставления линий влияния, представленных на рис 3.7 и 3.9, видно, что пределы загружения этих линий
46
влияния на экстремум различны, вследствие чего определять наибольшее напряжение приходится исходя из предположений: 1) определяют наибольшее положительное значение М и вычисляют соответствующее этому загружению значение N ; 2) определяют наибольшее отрицательное значение М и вычисляют соответствующее этому загружению значение N ; 3) определяют наибольшее значение N , вычисляют соответствующее ему значение М . По формуле (3.15) определяют нормальные напряжения, соответствующие каждой схеме загружения линий влияния М и N. Для конструирования сечения арки принимают наибольшее из трёх найденных значений нормальных напряжений.
Избежать тройного загружения двух линий влияния можно, пользуясь расчётом при помощи ядровых моментов.
Двухчленная форма нормального напряжения может быть приведена к одночленной, если за точку моментов взять точки К1 и К2 ядра сечения (рис. 3.15).
|
|
|
|
y |
|
n |
|
|
|
n |
|
N |
|
|
|
|
|
|
с1 |
k1 |
|
|
|
N |
|
|
|
||
k |
e |
|
с1 |
|
|
k1 |
h |
|
|||
с2 |
k |
|
|||
|
k2 |
|
k2 |
с2 |
e |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
N |
|
m |
|
m |
|
|
Q |
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
Поперечное |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
сечение арки |
|
|
Рис. 3.15
Пусть расстояния крайних точек ядра сечения от оси арки будут с1и с2 соответственно, а расстояние точки приложения нормальной силы N от оси арки е. Равнодействующую левых сил R разложим на две составляющие N и Q. В одной из крайних точек ядра сечения, например в верхней точке k1, приложим перпендикулярно сечению две взаимно уравновешенные силы N . В результате в сечении будет при-
47
ложено три силы N, которые могут быть теперь сведены к паре с мо- |
||||||
ментом M N (е с1) и продольной силе N, действующей в крайней |
||||||
верхней ядровой точке k1. В соответствии с изложенным величина |
||||||
нормального напряжения в нижней точке m сечения может быть най- |
||||||
дена по формуле m N e c1 , |
т.к. от силы N, приложенной в верх- |
|||||
|
|
Wm |
|
|
|
|
ней ядровой точке, нормальные напряжения в нижней точке m сече- |
||||||
ния равны нулю. Аналогично можно получить формулу для опреде- |
||||||
ления напряжения в верней точке сечения n: n |
N e c2 . |
|
||||
|
|
|
|
|
Wn |
М ядрк1 и |
Числители двух последних |
|
формул обозначают как |
||||
М ядрк2 соответственно и называют ядровыми |
моментами. Оконча- |
|||||
тельно формулы для определения нормальных напряжений в крайних |
||||||
точках сечения принимают вид |
|
|
|
|
||
|
M |
ядрк1 |
и |
M ядрк2 |
(3.16) |
|
m |
|
n |
. |
|||
|
Wm |
|
Wn |
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
F=1 |
|
|
||
|
k1 |
k |
|
|
|
|
|
RА |
k2 |
|
С |
f |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
А |
RА |
|
|
RВ |
В |
|
xk1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
xk2 |
|
|
|
|
|
xk1 |
|
|
|
|
Л.в. Мяk1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm1 |
|
|
|
|
|
xК2 |
|
|
|
|
|
|
|
xm2 |
|
48 |
Л.в. Мяk2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.16 |
|
|
||
Для того чтобы найти по этим формулам наибольшее напряжение при невыгодном загружении, остаётся построить линии влияния так называемых ядровых моментов Мк1 и Мк2 соответственно для крайних
верхней и нижней точек k1 и k2 ядра сечения. На рис. 3.16 показано построение этих линий влияния методом нулевой точки. Расстояния хk1 и хk2 можно находить по формулам (3.17), а ординаты yk1 и yk2
по формулам (3.18).
xk |
xk |
c1 sin k ; |
|
1 |
|
(3.17) |
|
xk2 |
xk |
||
c2 sin k . |
|||
yk |
yk |
c1 cos k ; |
|
1 |
|
(3.18) |
|
yk2 |
|
||
yk |
c2 cos k . |
3.5. Рациональное очертание оси арки
Рациональной осью трёхшарнирной арки заданного пролёта и заданной стрелы подъёма называется такая ось, при которой требуемые условиями прочности поперечные сечения арки будут наимень-
шими. Очевидно, что наименьшая величина нормального напряжения, согласно выражению (3.11), будет в том случае, когда значение изгибающего момента в сечении будет равно нулю. Последнее же возможно в том случае, когда равнодействующая внутренних проходит через центр тяжести поперечного сечения арки. Этому условию должны удовлетворять все сечения арки.
Рассмотрим типичный случай загружения, когда арка находится под действием равномерно распределённой нагрузки (рис. 3.17).
Исходя из определения рациональной оси арки приравняем к нулю выражение (3.5).
49