Материал: 1692

у = (x) с прямой у = x. Взяв в качестве начальной произвольную точку x0 [a, b], строим ломаную линию. Абсциссы вершин этой ломаной представляют собой последовательные приближения корня . Из рисунков видно, что если '(x)<0 на отрезке [a, b], то последовательные приближения xn = (xn-1), колеблются около корня , если же производная '(x)>0, то последовательные приближения сходятся к кор-

Рис. 10

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции у = (x), эквивалентной исходной.

На рис. 11 рассмотрен пример, когда условие окончания ите-

рационного процесса y xn 1 выполняется на первом шаге

итерационного процесса, т.е. x1 x0 , из этого следует, что х0 является приближенным значением искомого корня. Однако из рис. 11 видно, что это неверно, т.к. решением задачи является .

Для метода итераций следует подбирать функцию (x) так, чтобы | '(x)| δ <1, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности {xn} к корню тем выше, чем меньше число δ.

Ключевой момент в применении метода простой итерации – эквивалентное преобразование уравнения F(x)=0 к виду (2). Конечно,

31

Рис. 11

такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается

самая простая и напрашивающаяся) попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [2,5].

Способ 1. Если f (x) содержит в себе выражение некоторой об-

[c; d], то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции : x (y). Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y) 1/ (y) и следствии изнего:

условие сходимости не выполняется.

Другой вариант уравнения: x x3 1. Проверим условие сходи- 3

мости:

32

(x) 1 x3 1 (x) x2 ;

33

(2) 4 1 при х [0,8; 2],

условие сходимости не выполняется.

Так как ни одно из приведенных нами уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то применим описанный способ:

x3 3x 1 x 33x 1;

условие сходимости выполняется. Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение x 33x 1.

Способ 2. В случае, когда способ 1 применить трудно или он не даст нужного результата, можно использовать следующий прием.

Пусть дано уравнение с единственным корнем в [a; b]. Предположим, что на отрезке [с; d] производная f функции F непрерывна, не равна константе и принимает значения одного и того же знака.

xx k f (x)

ипокажем, что для функции g(x) x k f (x) на [c; d] имеет место ус-

ловиесходимости.

Для x [c, d] справедливы неравенства: 0 m f (x) M . Разделим их почленно на число М и для разностей между единицей и полученными дробями получимнеравенство:

0 1 f (x) 1 m q,

M M

откуда ивытекает, что

0 g (x) 1 k f (x) q

при всех x [c, d].

33

для решения методом простой итерации на интервале [1,4; 1,7].

Так как условие сходимости не выполняется, то применим второй способ приведения уравнения:

q 1 m 1 0,99 0,31 1. M 1,44

Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение

для решения методом простой итерации на интервале [1,7; 2,1].

Так как условие сходимости не выполняется, то применим второй способ приведения уравнения:

34

q 1 m 1 0,42 0,36 1. M 0,66

Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение

му для решения методом простой итерации на интервале [0,3;0,7]. Так как условие сходимости не выполняется, то применим вто-

рой способ приведения уравнения:

q 1 m 1 30,73 0,9 1. M 315,52

Таким образом, для уточнения нужного нам корня методом простой итерации можно использовать уравнение

35