Материал: 1692

Корни находятся в два этапа: первый – отделение корней, т.е. нахождение отрезка [a, b], содержащего один корень уравнения; второй

– уточнение значения корней на найденных отрезках с заданной точ-

знак первой производной, то внутри этого отрезка находится один корень уравнения. Отделение корней можно осуществить различными способами.

1.Составляют таблицу значений функции y F(x) на выбранном отрезке изменения аргумента. Для отделения корня необходимо, чтобы на концах выделенного отрезка функция имела разные знаки и была монотонна. В качестве признака монотонности функции можно воспользоваться условием знакопостоянства первой производной. От заданной функции F(x) найдем F (x) и вычислим ее

значения на концах отрезка [a, b], если F (a)*F (b) 0, функция F(x) монотонна.

2.Строят график функции y F(x) на отрезке изменения x; точка пересечения графика с осью ox даст нам корень уравнения. Для последующего уточнения корня возьмем окрестности корня и обозначим их [a, b].

3.Уравнение F(x) 0 заменяют равносильным ему F1(x) F2(x), строят два графика y1 F1(x) и y2 F2 (x). Абсцисса точки пересечения этих графиков, спроецированная на ось x, даст нам отрезок [a, b], внутри которого находится корень уравнения F(x) 0.

2.Методы решения нелинейных уравнений

2.1.Метод деления пополам (метод бисекций)

Задача. Найти решение нелинейного уравнения F(x) 0 с точностью .

Метод состоит в следующем: в результате отделения корня найден отрезок [a, b], в котором расположено искомое значение корня. В качестве начального приближения корня возьмем значение co=(b+a)/2. Далее исследуем значения F(x) на концах отрезков [a, co] и [co, b]. Тот из них, на концах которого F(x) примет значения разных знаков, содержит искомый корень. Поэтому его принимают в качестве нового

21

нием корня. Соединим точки А и В прямой, т.е. проведем хорду. Таким образом, получим b1, которое является приближением корня.

Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точ-

ку B(b0, F(b0)).

y–y0=k(x–x0), y–F(b0)=k(x–b0).

Хорда должна проходить через точку A(a0, F(a0)), т.е.

k F(a0) F(b0) . a0 b0

Запишем уравнение прямой

y F(b0 ) F(a0 ) F(b0 )(x b0 ). a0 b0

Начало

Ввод a, b, i = 0, ε

Вычисле-

ниеF(a)

i = i +1

с a b

2

Конец

Рис. 2

23

Рис. 3

Проведенная прямая пересекает ось ох

Найдем х при у=0

Далее, сравнивая знаки F(b1) и F(b0), найдем новый отрезок [b1, a0]. Соединим новой хордой точки А и В1, таким образом найдем новое приближение корня. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока F(bi) не станет по модулю меньше числа : F(bi ) . При решении этим методом потерять корень невозможно.

Рабочая формула метода хорд:

где b – начало отрезка, а – конец ( точка а неподвижна). Неподвижен тот конец, для которого знак функции F(x) совпадает

со знаком ее второй производной F (x).

Блок–схема алгоритма метода хорд представлена на рис. 4, где [a, b] – отрезок, в котором находится корень уравнения; b – корень уравнения; n – число итераций; F(bi) – значения функции в соответствующей точке.

2.3. Метод Ньютона (метод касательных)

качестве начального приближения принимается тот конец отрезка [a, b], для которого выполняется условие F(x)F (x) 0. Обратимся к рис. 5, на котором представлено графическое решение задачи. Из точки А0 проведена касательная к функции. Точка пересечения касательной с осью ох является первым приближением корня, на рис. 5 она обозначена как а1. Затем из точки а1 проводим прямую, перпендикулярно оси ох. Точку пересечения этой прямой с функцией обозначим через А1 и т.д.

Начало

Ввод b,

i = 0

F(bi)

Нет

Вывод b, i

Конец

Рис. 4

Запишем уравнение прямой, касательной к F(x):