Материал: 1692

y F(a0) F (a0)(x a0).

Конец

Рис. 6

26

Рабочая формула метода касательных: ai 1 ai FF((aaii)),

ai 1 ai ai, i 0,1,2,3,...

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока F(x) не

тодом возможна потеря корня, но при правильном применении метода он сходится быстро, 4-5 итераций дают погрешность 10-5, он используется также для уточнения значения корня [5]. Блок-схема алгоритма метода касательных представлена на рис. 6, где an – корень уравнения; n – число итераций; F(an) - значение функции в соответствующей точке.

2.4. Комбинированный метод хорд и касательных

Задача. Найти корень уравнения F(x) с заданной точностью . В этом случае используется одновременно методы касательных и

хорд. Приближение к корню происходит с двух сторон. Рассмотрим четыре случая, которые отвечают возможным комбинациям знаков

F (x) и F (x).

Из графиков, представленных на рис. 7, метод хорд применяется со стороны вогнутости, а метод касательных – со стороны выпуклости графика.

Совместное применение обоих методов дает сразу избыточное и недостаточное приближение. Применяя этот метод, мы предполагаем,

что выпуклость кривой y F(x) при всех x [a0 , b0 ] обращена в одну сторону. Для удобства расчета обозначим через а0 тот конец отрезка [a0, b0], в котором знаки F (x) и F (x) совпадают.

Из возможных случаев рассмотрим случай первый. Пусть F(a)* F(b) 0 и F (x)* F (x) 0, т.е. знаки первой и второй производной совпадают. При решении уравнения каждая итерация заключается в следующем: из точки А проведем хорду, которая стягивает дугу АВ, и проведем касательную к дуге таким образом, чтобы точка пересечения касательной с осью ох оказалось внутри отрезка [a0, b0]. Хорда на графиках пересекает ось ох в точке b1,

27

Рис. 7

лежащей между точками b0 и искомым корнем , а касательная к дуге в точке А пересекает ось ох в точке а0, лежащей между точками а0 и искомым корнем уравнения ( рис. 8).

Полученное значение a1 и b1 дают новое приближение к корню. Приведем расчетные формулы для ai+1и bi+1, выведенные в п.2.1 и 2.2.

Процесс нахождения ai+1 и bi+1 продолжается до тех пор, пока выполняется одно из следующих условий:

ai 1 bi 1 , где - заданная точность;

28

Рис. 8

Все округления при вычислениях следует производить в сторону от корня [4]. На рис. 9 представлена блок-схема комбинированного метода хорд и касательных, где n число итераций; аn , b n− значения приближения корня; F(аn) F(bn) − значения функции в данных точках.

2.5. Метод простой итерации (метод последовательных приближений)

Чтобы применить метод простой итерации для решения нелинейного уравнения F(x)=0, необходимо преобразовать его к следующему

Это преобразование (приведение уравнения к виду, удобному для итерации) можно выполнить различными способами; некоторые из них будут рассмотрены ниже. Функция называется итерационной функцией.

Выберем каким-либо образом приближенное значение корня х(0) и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим значение

х(1) (х(0) ). Подставим теперь х(1) в правую часть уравнения (2),

имеем х(2) (х(1) ). Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню, вычисляемых по формуле

Если существует предел построенной последовательности

Начало

Ввод a, b,

i = 0

Нет

F(c)

Да Вывод c, i

Конец

Рис. 9

Метод допускает простую геометрическую интерпретацию. Построим графики функций у = x и у = (x), (рис. 10,а и 10,б). Корнем уравнения у = (x) является абсцисса точки пересечения кривой

30