Материал: 1692

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то следует провести элементарные преобразования матрицы (см. п.4).

Разрешим первое уравнение системы (2) относительно х1, второе – относительно х2, третье – относительно х3.

x1 (a12 /( a11))x2 (a13 /( a11))x3 b1 /( a11),

x2 (a21 /( a22))x1 (a23 /( a22))x3 b2 /( a22),x3 (a31 /( a33))x1 (a32 /( a33))x2 b3 /( a33).

В результате получим эквивалентную систему:

где i bi /aii, ij aij /aii приi j (i, j=1,2,…,n).

Систему (3) можем записать в матричной форме:x x . Систему (3) будем решать методом простой итерации. В качестве

нулевого приближения x(0) примем элементы столбца свободных членов:

x(0)= , т.е. x1(0)= 1, x2(0)= 2, x3(0)= 3.

Далее, находим первое приближение х(1), подставляя найденные значения нулевого приближения в систему (3):

Подставляя значения приближения х(1) в правую часть системы (3), получим:

ние.

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность х(0), x(1), x(2),…, x(k),... приближений, вычисляемых по рабочим формулам:

6

В общем виде рабочие формулы для системы n-уравнений:

Если последовательность приближений имеет предел:

x lim x(k), k

то этот предел является решением системы. Таким образом, с увеличением числа итераций растет точность получаемых корней. Однако можно не производить огромное количество итераций, а задать определенную точность решения, при достижении которой итерационный процесс завершается. Условие окончания итерационного процесса можно записать в виде:

Пример № 1. Методом простой итерации решить систему с точностью = =10-3.

0,9x1 2,5x2 1,3x3 32,1x4 49,72.

Решение.

1. Приведем систему к виду (3) . Для этого необходимо все диагональные элементы системы оставить в левой части уравнения, а остальные элементы перенести с противоположным знаком в правую часть. Разделим каждое из уравнений системы на соответствующий коэффициент, стоящий в левой части уравнения:

7

x1 1/20,9(21,70 1,2x2 2,1x3 0,9x4),

x2 1/21,2(27,46 1,2x1 1,5x3 2,5x4),

x3 1/19,8(28,76 2,1x1 1,5x2 1,3x4),

x4 1/32,1(49,72 0,9x1 2,5x2 1,3x3).

2. В качестве начального вектора x(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:

3. Вычисления будем вести до тех пор, пока не будет выполнено условие

Последовательно вычисляем: при k = 1:

Сравнивая полученные xi(1) с xi(0) , видим, что условия сходимости невыполняются. При k = 2:

x1(2) 16,942/20,9 0,8106,

x2(2) 21,450/21,2 1,0118,

x3(2) 23,992/19,8 1,2117,

x4(2) 45,188/32,1 1,4077.

Сравнивая полученные xi(2) с xi(1), видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 3

8

x1(3) 16,67434/20,9 0,7978,

x2(3) 21,15048/21,2 0,9977,

x3(3) 23,71003/19,8 1,1975,

x4(3) 44,88575/32,1 1,3983.

Сравнивая полученные xi(3) с xi(2) видим, что условия сходимости не выполняются. При k = 4:

x1(4) 16,7295/20,9 0,8004,

x2(4) 21,2106/21,2 1,0005,

x3(4) 23,7703/19,8 1,2005,

x4(4) 44,9510/32,1 1,4003.

Для сравнения xi(4) с xi(3), найдем модули разностей значений

xi(4) xi(3) :

Так как все найденные значения модулей больше заданного числа= 10-3, продолжаем итерации. Получаем при k = 5:

x1(5) 16,71808/20,9 0,7999,

x2(5) 21,19802/21,2 0,9999,

x3(5) 23,75802/19,8 1,1999,

x4(5) 44,93774/32,1 1,3999.

9

Они меньше заданного числа , поэтому в качестве решения возь-

мем: x1 = 0,7999, x2 = 0,9999, x3 = 1,1999, x4 = 1,3999.

4. Условия сходимости и элементарные преобразования матрицы

Теорема. Если для приведенной системы (3) выполнено, по меньшей мере, одно из условий:

то процесс итерации сходится к единственному решению этой системы, независимо от выбора начального приближения.

Следствие. Для системы

метод итерации сходится, если выполнены неравенства:

т.е. если модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).

Элементарными преобразованиями матрицы называются следую-

щие ее преобразования:

–транспонирование, т.е. замена каждой строки столбцом с тем же номером;

–перестановка двух строк или двух столбцов;

–умножение всех элементов строки или столбца на любое число c, отличное от нуля;

–прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

10