Материал: 1692

5. Метод Зейделя (метод Гаусса-Зейделя, метод последовательных замещений)

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения неизвестных x1, х2, ...,

хi-l [2, 5].

В этом методе, как и в методе простой итерации, необходимо привести систему к виду (3), чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, и проверить условия сходимости. Если условия сходимости не выполняются, то нужно произвести элементарные преобразования (см. п. 4). Пусть дана система из трех линейных уравнений. Приведем ее к виду (3). Выберем произвольно начальные приближения корней: х1(0), х2(0), х3(0), стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным. За нулевое

приближение можно принять столбец свободных членов, т.е. х(0) = (т.е. x1(0)= 1, x2(0)= 2, x3(0)= 3). Найдем первое приближение х(1) по формулам:

x1(1) 12x2(0) 13x3(0) 1,x2(1) 21x1(1) 23x3(0) 2,

Следует обратить внимание на особенность метода Зейделя, которая состоит в том, что полученное в первом уравнении значение х1(l) сразу же используется во втором уравнении, а значения х1(1), х2(1) – в

третьем уравнении и т.д. То есть все найденные значения х1(1) подставляются в уравнения для нахождения хi+1(1) [6, 8].

Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид:

Запишем в общем виде для системы n-уравнений рабочие форму-

лы:

11

Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя.

Зададим определенную точность решения , по достижении которой итерационный процесс завершается, т.е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений:

Пример №2. Методом Зейделя решить систему с точностью = 10-3:

Решение.

1. Приведем систему к виду:

x1 1/20,9(21,70 1,2x2 2,1x3 0,9x4),

x2 1/21,2(27,46 1,2x1 1,5x3 2,5x4),

x3 1/19,8(28,76 2,1x1 1,5x2 1,3x4),

x4 1/32,1(49,72 0,9x1 2,5x2 1,3x3).

2. В качестве начального вектора х(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:

3. Проведем итерации методом Зейделя. При k = 1

x1(1) 1/20,9(21,70 1,2 1,30 2,1 1,45 0,9 1,55) 0,7512.

При вычислении х2(1) используем уже полученное значение х1(1) = = 0,7512:

12

x2(1) 1/21,2(27,46 1,2 0,7512 1,5 1,45 2,5 1,55) 0,9674.

При вычислении х3(1) используем значения х1(1) и х2(1):

x3(1) 1/19,8(28,76 2,1 0,7512 1,5 0,9674 1,3 1,55) 1,1977.

Наконец, используя значения х1(1), х2(1), х3(1), получаем:

x4(1) 1/32,1(49,72 0,9 0,7512 2,5 0,9674 1,3 1,1977) 1,4037.

Аналогичным образом ведем вычисления при k=2 и k=3. При k= 2:

x1(2) 16,76062/20,9 0,8019,

x2(2) 21,19202/21,2 0,9996,

x3(2) 23,75180/19,8 1,1996,

x4(2) 44,93981/32,1 1,4000.

При k= 3:

x1(3) 16,72132/20,9 0,80006,

x2(3) 21,200528/21,2 1,00002,

x3(3) 23,759844/19,8 1,19999,

x4(3) 44,939909/32,1 1,40000.

Они меньше заданного числа , поэтому в качестве решения возь-

мем: x1 = 0,80006, x2 = 1,00002, x3 = 1,19999, x4 = 1,40000.

6. Контрольные задания

Решить заданную систему линейных алгебраических уравнений методами простой итерации и Зейделя. Точность решения = 0,001.

13