Материал: 1692

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Функцию у = F(x) представим в виде полинома степени п:
Ln(х) = а0 + а 1х + а2х2 +... + апхn.	(2)

Воспользуемся для этого полиномами, каждый из которых в точке х = хi (i = 0,1…) принимает значение у=1, а во всех остальных узлах x=x0,, x=x1,… , x=xi-1, x=xi+1,…, x=xn обращает y в ноль y=y0=y1=…=yi-1, yi+1=…=yn=0.

Рис. 1

P		1,i		j;
	i	( x )	0 ,i	j.

На рис. 1 изображен полином. Так как искомый полином обраща-

ется	в 0	в точках, x0, x1...xi 1, xi 1, xn , то он	имеет	вид
Pi x Ci	x x0	x x1 x xi 1 x xi 1 x xn	,	(3)

где Ci− постоянный коэффициент.

Значение этого коэффициента может быть найдено при x=xi, так

как	Pi xi 1,
C i	x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn 1, (4)

откуда

Ci x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn .

Подставляя (5) в (3), получим

Pi x	x x0 x x1 x xi 1 x xi 1 x xn
							.
	x x x x x x				x x	x x
	i	0	1	i 1	i 1	i n

(5)

(6)

Степень полинома равна п. Нумерация точек начинается с 0 и заканчивается п, при этом i-я точка выпадает. Полученный полином

представляет исходную функцию у = F(x) только в одной точке. Для представления всей таблично заданной функции таких полиномов потребуется п.

n
Ln x Pi x yi .	(7)

i 0

2. Частные случаи полинома Лагранжа

Рассмотрим частные случаи полинома Лагранжа при п=1; п=2;

п=3.

Для п=1 исходная таблица функции будет выглядеть следующим образом:

											x			0	x
														0			1						,
											y			0	y								,
														0			1
тогда по формуле (7) имеем																					x x1										x x0
				L x P x y							P x y										x x1							y			x x0			y
				L x P x y							P x y																	y						y
				1		0				0	1			1							x			0		x			0		x x		1.
Для случая п = 2:																								0			1			1			0
Для случая п = 2:											x			x x
											x		0	x x					2
													0		1				2
											y		0	y y						2				.
													0		1					2
L x P x y					0	P x y P x y							2						x x1 x x2													y
L x P x y						P x y P x y																										y
2			0			1		1			2						x x										x x 0
		x x0 x x2							x x0 x x1													0				1		0		2
		x x0 x x2					y		x x0 x x1															y
							y		x x x x															y	2
	x x x x 1								x x x x																2
		1	0	1		2		2			0		2					1
Для случая п=3:
											x	0	x x			2		x				3
												0		1		2						3
											y	0	y y				2		y					.
												0		1			2						3
L3 x P0 x y0								P1 x y1						P2 x y2																P3 x y3
		x x1 x x2 x x3																					x x0 x x2 x x3
												y0																								y1
		x0	x1 x0			x2 x0					x3	y0								x1						x1 x1 x2 x1									x3	y1

	x x0 x x1 x x3					x x0 x x1 x x2
					y2					y3 .
	x2 x0 x2	x1 x2	x3		y2	x3 x0 x3		x1 x3 x2		y3 .
	Рассмотрим конкретный пример. Функция задана таблицей своих
значений. Вычислить значение функции в точке 2,5.
		Значения функции y= lnx

	х	2		3			4		5
	y= lnx	0,6931		1,0986			1,3863		1,6094

Используем первые три значения в качестве узлов интерполирования, получим:

L2(x)=((x-3)(x-4)/(2-3)(2-4)) 0,6931+((x-2)(x-4)/(3-2)(3-4)) 1,0986+ + ((x-2)(x-3)/(4-2)(4-3)).1,3863=-0,0589 x+0,7000 x-0,4713;

L2 (2,5)=0,9103.

Полином третьей степени строим по четырём узлам:

L x			x 3 x 4 x 5		0,6931		x 2 x 4 x 5		1,0986

	3		2 3 2 4 2 5				3 2 3 4 3 5

		x 2 x 3 x 5				x 2 x 3 x 4
				1,3863				1,6094 0,0089x3
		4 2 4 3 4 5				5 2 5 3 5 4

0,1390x2 0,9214x 0,6849;L3 x 0,9139.

Для сравнения укажем, что в четырёхзначных таблицах значение ln2,5 = 0,9139.

3. Оценка погрешностей

Построенный полином Лагранжа совпадает с исходной функцией F(x) в узловых точках, во всех остальных точках Ln(x) представляет функцию F(x) на отрезке [a,b] приближенно. Без вывода запишем формулу, используемую для оценки погрешностей:

R x

f (x) Ln(x)

f n 1

(8)

n 1!

n 1

где R x

остаточный член или погрешность;

f n 1

(n+1)–я

производная от исходной функции, при этом будем предполагать,

что F(x) на отрезке a ≤ x ≤ b изменений х будет иметь	все про-
изводные до (n+1)-го порядка включительно; точка	a,b ,

Рис. 2

она придаёт максимальное значение функции f n 1 ; n – степень полинома,

n 1 x x0 x x1 x xn .

Оценим погрешность функции, заданной таблицей, выберем степень полинома п = 2, заданная функция y= lnx. Найдем производную третьего порядка y'=1/x; y''= –1/x2, y'''=1/x3. Очевидно, что максимальное значение y''' получим при x=2: y'''=2/23=1/4.

R x	1	(2,5 2)(2,5 3)(2,5 4) 0,0156.

3	4 1 2 3

Алгоритм выполнения задания по лабораторной работе представлен на рис. 2.

4. Контрольные задания

Используя интерполяционную формулу Лагранжа, вычислить значения функции в указанных точках. В таблично заданных функциях шаг таблиц постоянный.

	№ 1		№ 2		№ 3		№ 4

X	У	X	У	X	У	X	У
3,50	33,1154	0,115	8,65729	0,15	0,860708	0,45	20,1946
3,55	34,8133	0,120	8,29329	0,20	0,818731	0,46	19,6133
3,60	36,5982	0,125	7,95829	0,25	0,778801	0,47	18,9425
3,65	38,4747	0,130	7,64893	0,30	0,740818	0,48	18,1746
3,70	40,4473	0,135	7,36235	0,35	0,704688	0,49	17,3010
3,75	42,5211	0,140	7,09613	0,40	0,670320	0,50	16,3123
3,80	44,7012	0,145	6,84815	0,45	0,637628	0,51	15,1984
3,85	46,9931	0,150	6,61659	0,50	0,606531	0,52	13,9484
3,90	49,4024	0,155	6,39986	0,55	0,576950	0,53	12,5508
3,95	51,9354	0,160	6,19658	0,60	0,548812	0,54	10,9937
	x= 3,52		x = 0,121		x = 0,17		x = 0,455
	x = 3,93		x = 0,161		x = 0,58		x = 0,535

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_индив анализ данных