Материал: 1692
|
№ 65 |
|
№ 66 |
|
№ 67 |
№ 68 |
|
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
0,46 |
19,6133 |
0,06 |
0,9519 |
0,16 |
4,9530 |
1,345 |
4,35325 |
0,47 |
18,9425 |
0,11 |
0,9136 |
0,17 |
5,4739 |
1,350 |
4,45522 |
0,48 |
18,1746 |
0,16 |
0,8769 |
0,18 |
6,0496 |
1,355 |
4,56184 |
0,49 |
17,3010 |
0,21 |
0,.8416 |
0,19 |
6,6859 |
1,360 |
4,67344 |
0,50 |
16,3123 |
0,26 |
0,8077 |
0,20 |
7,3891 |
1,365 |
4,79038 |
0,51 |
15,1984 |
0,31 |
0,7753 |
0,21 |
8,1662 |
1,370 |
4,91306 |
0,52 |
13,9484 |
0,36 |
0,7441 |
0,22 |
9,0250 |
1,375 |
5,04192 |
0,53 |
12,5508 |
0,41 |
0,7141 |
0,23 |
9,9742 |
1,380 |
5,17744 |
0,54 |
10,9937 |
0,46 |
0,6854 |
0,24 |
11,0232 |
1,385 |
5,32016 |
0,55 |
9,2647 |
0,51 |
0,6579 |
0,25 |
12,1825 |
1,390 |
5,32016 |
х =0,55 |
|
x =0,065 |
х = 0,1606 |
х = 0,3465 |
|||
x = 1,37 |
x = 0,537 |
x = 0,2537 |
x = 0,387 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 69 |
|
№ 70 |
|
№ 71 |
№ 72 |
|
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
1,50 |
0,51183 |
1,0 |
0,5652 |
0,00 |
0,28081 |
0,5 |
0,9384 |
1,51 |
0,50624 |
1,1 |
0,6375 |
0,05 |
0,31270 |
0,6 |
0,9120 |
1,52 |
0,50064 |
1,2 |
0,7147 |
0,10 |
0,34549 |
0,7 |
0,8812 |
1,53 |
0,49503 |
1,3 |
0,7973 |
0,15 |
0,37904 |
0,8 |
0,8463 |
1,54 |
0,48940 |
1,4 |
0,8861 |
0,20 |
0,41318 |
0,9 |
0,8075 |
1,55 |
0,48376 |
1,5 |
0,9817 |
0,25 |
0,44774 |
1,0 |
0,7652 |
1,56 |
0,47811 |
1,6 |
1,0848 |
0,30 |
0,48255 |
1,1 |
0,7196 |
1,57 |
0,47245 |
1,7 |
1,1964 |
0,35 |
0,51745 |
1,2 |
0,6711 |
1,58 |
0,46668 |
1,8 |
1,3172 |
0,40 |
0,55226 |
1,3 |
0,6201 |
1,59 |
0,46110 |
1,9 |
1,4482 |
0,45 |
0,58682 |
1,4 |
0,5669 |
х =0,509 |
x =0,07 |
х = 0,025 |
х = 0,56 |
|
|||
x = 1,6 |
|
x = 1,87 |
x = 0, 44 |
|
x = 1,37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ 73 |
|
№ 74 |
|
№ 75 |
№ 76 |
|
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
1,0 |
1,2661 |
2,0 |
1,5906 |
1,0 |
1,2621 |
2,0 |
2,2796 |
1,1 |
1,3262 |
2,1 |
1,7455 |
1,1 |
1,3262 |
2,1 |
2,4463 |
1,2 |
1,3937 |
2,2 |
1,9141 |
1,2 |
1,3937 |
2,2 |
2,6291 |
1,3 |
1,4693 |
2,3 |
2,0978 |
1,3 |
1,4693 |
2,3 |
2,8296 |
1,4 |
1,5534 |
2,4 |
2,2981 |
1,4 |
1,5534 |
2,4 |
3,0493 |
1,5 |
1,6467 |
2,5 |
2,5167 |
1,5 |
1,6467 |
2,5 |
3,2898 |
1,6 |
1,7500 |
2,6 |
2,7554 |
1,6 |
1,7500 |
2,6 |
3,5533 |
1,7 |
1,8640 |
2,7 |
3,0161 |
1,7 |
1,8640 |
2,7 |
3,8417 |
1,8 |
1,9896 |
2,8 |
3,3011 |
1,8 |
1,9896 |
2,8 |
4,1573 |
1,9 |
2,1277 |
2,9 |
3,6126 |
1,9 |
2,1277 |
2,9 |
4,5027 |
х =0,55 |
|
x =0,065 |
х = 1,08 |
|
х = 2,06 |
|
|
x = 1,37 |
x = 0,537 |
x = 1,87 |
|
x = 2,83 |
|
||
|
|
|
|
51 |
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Что обозначают термины: аппроксимация, интерполяция, экстраполяция?
2.Меры близости (отклонения) двух функций.
3.Запишите интерполяционные формулы для таблиц:
a)с переменным шагом;
b)с постоянным шагом.
4.Конечные разности, как их вычислить?
5.Разделенные разности, как они вычисляются?
6.Запишите функцию, заданную таблично в аналитическом виде, используя интерполяционные формулы.
Х |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
У |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
7.Запишите частные случаи формулы Ньютона для п=1, п=2.
8.Запишите частные случаи формулы Лагранжа для п=1, п=2, п=3.
9.Как оценить погрешность интерполяционной формулы?
10.Единственность полинома Лагранжа.
11.Вычислить конечные разности различных порядков:
12.Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для таблично заданной функции у = 1пх:
52
13.Записать функцию в аналитическом виде, используя для этого разделенные разности:
14.Каким образом можно определить наилучшую степень аппроксимируемого полинома?
15.Можно ли при аппроксимации произвольно задавать степень аппроксимирующего полинома?
16.Найти многочлен наименьшей степени, принимающий в данных точках заданные значения.
x y
1,45 3,14
1,36 4,15
1,14 5,65
17. Записать в аналитическом виде, таблично заданную функцию.
x y
10
24
36
53
Лабораторная работа № 4
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Цель работы: выбрать вид зависимости и определить неизвестные параметры таблично заданной функции, используя метод наименьших квадратов.
Порядок выполнения работы
1.Познакомиться с описанием лабораторной работы.
2.Для заданного варианта определить:
а) вид зависимости; б) неизвестные параметры.
3.Составить отчет.
4.Ответить на контрольные вопросы.
5.Защитить лабораторную работу.
1. Описание метода
Пусть в результате эксперимента получена таблица некоторой функции
x |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
F(x) |
y1 |
y2 |
y3 |
… |
yn |
Требуется найти функцию вида y = F(x), которая в точках x1,x2,…,xn принимает значения, наиболее близкие к табличным значениям y1,y2,…,yn. Такую формулу называют эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x, саму функцию называют приближающей функцией или аппроксимирующей.
На практике эту приближающую функцию находят следующим образом. По таблице строят точечный график функции F, по которому устанавливают вид приближающей функции. В качестве приближающей функции y = F(x) в зависимости от характера точечного графика часто используют следующие функции:
y=ax+b; y=b ax;
y=1/(ax+b); y=a emx;
где a,b,c,m – константы.
Выбор аппроксимирующей функции не алгоритмизирован, на помощь приходит опыт составителя формулы, часто нужную аппроксимирующую функцию находят перебором. В качестве вспомогательного средства можно использовать метод выравнивания [11].
Таким образом, если вид приближающей функции установлен, то задача сводится к отысканию значений параметров. Их можно вычислить по методу наименьших квадратов, суть которого заключается в следующем.
Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию, например, с тремя параметрами:
yǐ=F(xǐ,a,b,c) |
(1) |
Для xi (где i=1,2,…,n) из таблицы эта функция примет значения y i=F(xi,a,b,c), которые должны как можно меньше отличаться от за-
данных (табличных) значений yi, то есть разность y i – yi должна быть близка к нулю. Поэтому сумма квадратов разностей соответствующих значений функций F(x) и y i
n
yi F xi,a,b,c 2 Ф a,b,c
i 1
также должна принимать минимальное значение.
Таким образом, задачу свели к отысканию минимума функции Ф(a,b,c). Используем необходимое условие экстремума:
|
Ф |
0, |
|
|
|||
|
а |
|
|
|
|
||
Ф |
0, |
||
|
|
||
b |
|||
|
|
||
Ф |
0, |
||
|
|
||
c |
|||
|
|
||
n |
yi F xi,a,b,c Fa xi,a,b,c 0, |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
или |
n |
yi F xi,a,b,c Fb xi,a,b,c 0, |
(2) |
|
|||
i 1 |
|
|
|
n |
yi F xi,a,b,c Fc xi,a,b,c 0. |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
Решив эту систему из трех уравнений с тремя неизвестными, получим значения параметров a,b,c, следовательно, получим конкретный вид приближающей функции F(x,a,b,c).
Очевидно, что |
значения найденной функции F(x,a,b,c) в точ- |
ках x1,x2,…,xn будут |
отличаться от табличных значений y1,y2,…,yn.. |
Значения разностей i yi F xi ,a,b,c , где i=1,2,..,n, называются |
|
отклонениями данных значений y от вычисленных по формуле (1). |
|
|
n |
Сумма квадратов отклонений i2 должна быть наименьшей. |
|
i 1
55