Материал: 1692

Отметим, что из нескольких приближений для одной и той же табличной функции лучшим является то, для которого имеет наименьшее значение. В нашем случае приближающая функция зависела от трех параметров, однако изменение количества параметров повлияет только на изменение количества уравнений системы (2), а суть метода останется прежней. Рассмотрим частные случаи нахождения аппроксимирующих функций.

2. Линейная функция

Пусть требуется найти приближающую функцию в виде линей-

ной:

n yi axi b xi 0,i 1

n

yi axi b 1 0.i 1

После несложных преобразований её можно привести к виду:

Решив систему, получим значения параметров a и b, следовательно, и конкретный вид приближающей функции F(x,a,b) = ax+b.

Пример № 1. Найти аппроксимирующую функцию в виде линей-

ного полинома F(x,a,b) = ax+b.

Составим систему уравнений, точнее, воспользуемся системой (2а). Используя имеющиеся данные, получим n = 9; ∑xi = 0; ∑yi= =811,3; ∑yi xi = 3534,8; ∑x2i = 4060. Решим систему линейных алгебраических уравнений относительно а и b, получим а = 0,87; b = 90,1.

Аппроксимирующая функция имеет вид F(x,a,b) = 0,87x+90,1.

56

3. Квадратичная функция

Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде квадратичной:

F(x,a,b,c) = ax2+bx+c.

Так как её частные производные по параметрам a, b и c соответственно равны:

Fa x,a,b,c x2, Fb x,a,b,c x, Fc x,a,b,c 1,

то система (2) примет вид:

n

yi axi2 bxi c xi2 0,i 1

n yi axi2 bxi c xi 0,i 1

n yi axi2 bxi c 1 0.i 1

Решив систему, получим значения параметров a, b и с, следовательно, и конкретный вид аппроксимирующей функции

F(x,a,b,c)=ax2+bx+c.

4. Степенная функция

Пусть требуется найти аппроксимирующую функцию в виде степенной:

При условии, что a>0 и в заданной таблице значения аргумента и значения функции положительны, прологарифмируем равенство (3):

lnF = lna+mlnx.

Введем следующие обозначения u = lnx; A= m; B= lna, тогда lnF будет функцией от u: Ф(u,A,B) = Au+B. Таким образом, нахождение параметров степенной функции мы свели к нахождению параметров линейной функции. Поэтому дальнейшее решение поставленной задачи будет аналогично первому случаю.

Так как частные производные функции Ф(u,A,B) по параметрам

Так как частные производные функции F(x,a,b) по параметрам a

и b равны: Fa x,a,b ln x; Fb x,a,b 1, то система (2) примет вид:

n yi aln xi b ln xi 0,i 1

n

yi aln xi b 1 0.i 1

После элементарных преобразований найдем требуемые параметры.

Пример № 3. Имеем функцию заданную, таблично.

Представим функцию графически, чтобы выбрать вид аппроксимирующей функции (рис. 2).

59