Материал: 1671

3.6.Моделирование гиперплоскостей пространства Еп

Гиперплоскость (3-плоскость) пространства Еп определяется че­ тырьмя параметрами или задается четырьмя независимыми точками пространства. Пусть это будут точки A,B,C,D . Тогда на простейшей модели будут проекции (AUA2,A2), (S,,B2, В3 ), (С1 5 С2 ,С3 ) и (£>,.D2 ,£>3 ) (рис. 3.36). От этого задания можно перейти к другому

заданию гиперплоскости, например, двумя скрещивающимися пря­ мыми - ребрами тетраэдра ABCD , плоскостью и точкой - гранью и противоположной вершиной тетраэдра ABCD , плоскостью и пересе­ кающей ее прямой, тремя прямыми, пересекающимися в одной точке и т.д.

Судя по чертежу, можно утверждать, что гиперплоскость ABCD является гиперплоскостью общего положения по отношению к гипер­

Гиперплоскость может быть перпендикулярна какой-либо плос­ кости проекций. Тогда на этой плоскости проекций проекция гиперп­ лоскости будет вырожденной. На рисунке 3.39 показана гиперпло­ скость ABCD , перпендикулярная плоскости OXY . Такая гиперпло­ скость называется проецирующей относительно плоскости OXY . Аналогично будут выглядеть модели проецирующих гиперплоскостей относительно других плоскостей проекций.

Следует заметить, что невырожденными проекциями гиперпло­ скости будут все поля проекций OXZ , OXY (рис. 3.37) и ОХТ, OXZ (рис. 3.39).

3.6.1. Принадлежность точки, прямой и плоскости гиперплоскости

Можно сформулировать следующие признаки принадлежности:

83

1) точка принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит какой-либо линии данной гиперплоскости;

2)точка принадлежит гиперплоскости, если она принадлежит какой-либо плоскости данной гиперплоскости;

3)прямая принадлежит гиперплоскости, если две ее точки при­ надлежат данной гиперплоскости;

4)плоскость принадлежит гиперплоскости, если три ее точки, не лежащие на одной прямой, принадлежат данной гиперплоскости.

Очевидно, что для рисунков 3.37, 3.38, 3.39 задача о принадлеж­

ности точки данной гиперплоскости частного положения решается

84

плоскости OXY . Это можно сделать бесконечным числом способов. На рисунке 3.40 гиперплоскость Л(4) проведена через точку А . Пе­ ресечение ABCD и А будет плоскость, которую можно построить по трем точкам А, М, iV, где М е ВС, N е BD . Таким образом, полу­ чаем Аг = (A2M2N2), Аъ = (/i3M3JV3). Очевидно, что размерность по­ нижена до трех, и мы получили задачу на принадлежность точки E(E]tE2) плоскости A(A2M2N2>A3M3N3). Дальнейшее решение было описано выше.

На рисунке 3.40 Е3 * Е3, следовательно, Е е (ABCD).

Для решения задачи о принадлежности прямой и плоскости дан­ ной гиперплоскости необходимо описанный алгоритм повторить два и три раза, соответственно.

3.6.2. Прямые уровня и плоскости уровня

вданной гиперплоскости

Вданной гиперплоскости общего положения ABCD MOiyr быть выбраны прямые, параллельные какой-либо гиперплоскости ироек-

Рис. 3.41. Прямая уровня гиперплоскости относительно плоскости OXY пространства £4

ций, и прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций. На ри­ сунке 3.41 изображена прямая h(h„k2,h3) данной гиперплоскости, параллельная плоскости OXY , а на рисунке 3.42 - прямая h(hx,h2,h3) данной гиперплоскости, параллельная гиперплоскости OXYZ .

Для проведения прямой hllOXY предварительно проведена ги­ перплоскость уровня S(Z3)II OXYZ . Строить другие проекции ги­ перплоскости 27 нет необходимости. В гиперплоскости 27 выбрана

так же, как и в предыдущем случае. Однако теперь в плоскость A(AMN) можно выбрать любую прямую h(h2 # ОХ) и построить иро-

Рис. 3.42. Прямая уровня гиперплоскости относительно плоскости OXYZ пространства Е,

екцию Л, по принадлежности. Получаемая прямая h(huh2,h3) будет параллельна гиперплоскости OXYZ .

Если бы А, оказалась тоже параллельной оси ОХ, то это бы озна­ чало, что заданная гиперплоскость ABCD не является гиперплоско­ стью общего положения. В этом случае гиперплоскость ABCD была бы перпендикулярна гиперплоскости OYZT или, что, то же самое, была бы параллельна оси ОХ .

Очевидно, что в гиперплоскости ABCD общего положения нельзя найти и построить плоскость, параллельную какой-либо плос­ кости проекций.

3.б.3. Преобразование гиперплоскости общего положения в проецирующую гиперплоскость и гиперплоскость уровня

Для преобразования данной гиперплоскости общего положения в гиперплоскость проецирующую относительно какой-либо гиперпло-

А_

А-/

х- П?,П3

\ \

*2

Рис. 3.43. Преобразование гиперплоскости общего положения пространства ЕА в проецирующую гиперплоскость

скости проекций необходимо в данной гиперплоскости построить прямую уровня. Н а рисунке 3.43 выбрана прямая уровня А ( А , , А , , А 3 ) ,

ABCD станет гиперплоскостью уровня относительно гиперплоскости

88

ГЛАВА 4. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ

В пространстве Е3 прямая и плоскость, а также две плоскости, могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными. Выполним на рассматриваемой графической модели решения пози­ ционных, аффинных и метрических задач для указанных пар геомет­ рических объектов.

4.1.Пересечение прямой и плоскости

Из аксиомы стереометрии [7]: «Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости» следует, что прямая и плоскость могут пересекаться в точке - собственной или не­ собственной (бесконечно удаленной). В последнем случае прямая и плоскость являются параллельными, кроме того, исходя из формулы s = m + q-n размерности пространства пересечения (п. 1.7.2), также получаем пересечение прямой и плоскости пространства Е3 в точке, поскольку 5 = 2 + 1- 3 = 0.

Рассмотрим алгоритм конструктивного определения точки пере­ сечения прямой и плоскости. Пусть на чертеже (рис. 4.1) заданы

различные решения данной задачи [23]. Наиболее простое графиче­ ское решение ее может быть выполнено на основе применения пары конкурирующих прямых, принадлежащих одной проецирующей

с(]Ф - cf]d. Алгоритм решения задачи может иметь нижеследующий вид.

1.c2=d2 (прямые с и d - фронтально-конкурирующие);