Документ: 1671, страницы 46-50 | Студенческое хранилище

5.
6.	К,	—> /С7 e c7				Точка
К(КХ, К2)		является			решением
задачи.
Для полноты					представле
ния расположения прямой с и
плоскости			Ф	относительно
друг друга			и	относительно
плоскостей проекций Я, и							П2
необходимо			рассмотреть				оп
ределение		видимости				прямой
с при	ее	пересечении с плос
костью Ф. Видимость опре
деляется		относительно				плос
кости	проекции			с	учетом		на	Рис. 4.1. Модель построения
правления			проецирования.
								пересечения прямой и плоскости

Смысл	сказанного				и	способ

определения видимости заключается в следующем. Предположим, что заданы: плоскость ортогонатьных проекций 77, прямая с и плос кость Ф с их точкой пересечения К (рис. 4.2). Очевидно, последняя является границей видимости прямой с относительно плоскости Ф

при проецировании на П. Возьмем на прямой с точку

М * К

и про

ведем проецирующую

прямую т 1 П

такую, что

Mem.

11усть

тГ\Ф-А',

тГ\П =

М'.

Тогда на прямой т

возможны

расположения

тройки

точек

в

последова

тельности,

соответствую

щей

ортогональному

про

ецированию

на

77:

М -> /V -> Л/'

либо

N -> М

-> М'.

Для

наблю

дателя,

расположенного

в

соответствии с направлени

ем

проецирования

перед

тройкой

точек,

в

первом

случае будет «открытой», то

есть видимой, ближе распо

Рис. 4.2. Определение видимости прямой

ложенная к нему

точка

М.

при ее пересечении с плоскостью

Очевидно, что в этом случае

90

|MMJ>j/VAf|, то есть видимой является более удаленная от плоскости U т о ч к а м е с. Во втором случае имеет место ]/УМ1|>|ММ'], то есть видимой является более удаленная от плоскости П точка N е Ф. Следовательно, при ортогональном проецировании на плоскость П в первом случае получаем на П изображение [&Т'М') видимого луча [КМ) прямой с, а во втором - изображение [ЛГ'М') ее невидимого луча, расположенное справа от точки К'. Очевидно, что произволь

ное и единственное назначение точки М Ф К на прямой				с не влияет
на результат анализа рассматриваемой видимости.
На рисунке 4.1, в соответствии с изложенным, дважды определе
на видимость.
1. Видимость относительно плоскости проекций П2				при помощи
фронтально-конкурирующих точек 2 € Ф и 3 е с; 22			= 32 , 2, Ф 3j. По
скольку у3	> у2, то есть точка 3 е с	более удалена	от плоскости П2
чем точка	2 е Ф, то точка 3 видима при проецировании на П2 и луч
[КЗ) прямой с является видимым при этом проецировании.
2. Видимость относительно плоскости проекций Пл				при помощи
горизонтально-конкурирующих точек		4 е с и 5 е Ф : Лх		= 5Ь 42 Ф 52.
Гак как z5	> z4, то есть точка 5 € Ф	более удалена от плоскости Я,
чем точка	4 е с, то точка 5 видима при проецировании на Пх и луч

[КЛ) прямой с является невидимым при этом проецировании. Очевидно, определение видимости прямой имеет смысл при до

пущении, что плоскость Ф представляет собой непрозрачную неогра ниченную либо ограниченную пластину бесконечно малой толщины.

	На рисунке 4.3 на ос
	новании			вышеуказанного
	определена видимость пря
	мой	с	общего		положения,
	пересекающей				проецирую
	щую		плоскость			Ъ LII2 в
	точке		К	при проецирова
	нии на Пу, поскольку с
	учетом		указанного			допуще-
Рис. 4.3. Модель построения	ния,	на плоскость				П2 пря-
пересечения прямой общего положения	мая с		проецируется как ви-
с проецирующей плоскостью	димая.
91

На

рисунке

4.4

определе

на

видимость

проецирующей

прямой сА-Пх, пересекающей

плоскость

Ф(ААВС)

общего

положения в точке К. Для

х-

анализа

видимости

прямой

с

относительно

плоскости

Ф

при проецировании на П2 ис

пользуется

пара

фронтально-

конкурирующих точек 2 е Ф

и

Зес,

при

этом

у3

>у2-

Рис. 4.4. Модель построения

Рассмотрим

определение

пересечения проецирующей прямой с

точки

пересечения

прямой

и

плоскостью общего положения

плоскости, заданной на графи

ческой

модели

родством. Пусть заданы: прямая т(т1,т2)

и плос

кость Ф(я,Д, Л 2 ),

где s - ось родства; АХ,А2 - пара соответственных в

родстве точек, при этом

/и<гФ

(рис. 4.5). Требуется определить точ

ку

пересечения

т о Ф .

Последовательность графического

решения

рассматриваемой задачи имеет нижеследующий вид.

1.

Строим прямую

я,, соответственную прямой п2 - т2 в родст

ве (s,AuA2).

Для

этого

вначале

назначим

точку

1 2 ея 2 .

Затем

построим прямую 12Л2 и опре

делим

точку

пересечения

12~\2A2C\s.

В

пересечении

прямой

2, Л,

и

прямой

е

на

правления

родства

определим

точку

1],

соответственную точ

ке

12

в

родстве.

Прямая

я,

= (ll,Nl)

является искомой.

2.

Определим

проекции

Рис. 4.5. Модель построения

искомой

точки

пересечения

К:

пересечения прямой и плоскости,

ЛГ,

= т1

ппи

К,

->

К2

ет2.

заданной родством

4.2.Пересечение двух плоскостей

Исходя из формулы размерности пространства пересечения (п. 1.7.2) две плоскости в пространстве Еъ пересекаются по прямой линии, поскольку $ = 2 + 2- 3 = 1. Эта линия может быть собственной, либо несобственной. В последнем случае плоскости являются парал лельными. Рассмотрим решение задачи определения линии пересече ния двух плоскостей. Пусть на графической модели пространства за

даны	две	плоскости общего	положения ЩААВС)	и	А(т//п)
(рис.	4.6).	Требуется построить	их линию пересечения	Z n A .	Алго

ритм решения данной задачи основал на алгоритме решения преды дущей задачи (п. 4.1) и включает по существу дважды повторенное решение рассмотренной задачи. Действительно, для определения прямой линии пересечения In Д необходимы, как и для всякой пря мой, две ее точки. Каждая из них определяется как точка пересечения произвольной прямой, взятой в одной плоскости, с другой плоско стью. На основании сказанного последовательность конструктивного решения поставленной задачи может быть нижеследующей.


		1. В качестве одной из
	двух	прямых,			необходимой
	для	определения				одной			из
	двух	точек		искомой			линии
	пересечения,				выберем			пря
	мую	т с Д.			На	основании
	алгоритма			определения				точ
	ки	пересечения				прямой			и
	плоскости			(п.	4.1) выполним
	соответствующие					построе
	ния и определим точку перс-
	сечения		тглЪ =			М(М1,М1).
		2.	Выберем в плоскости
	Д другую			прямую,			напри
Рис. 4.6. Модель построения пересечения	мер, п и определим точку пе
двух плоскостей общего положения	ресечения			и п 1 = 7V(7V, ,N2).
		3.	Проведем				линию

l=(M,N), которая и будет искомой линией пересечения /=Е гл Л .

92	93

Если одна из двух пересекаю
щихся	плоскостей			занимает		относи
тельно	плоскостей			проекций		частное
положение, решение рассматриваемой
задачи	значительно			упрощается. Рас
смотрим этот случай. Пусть на графи
ческой модели заданы две плоскости
Pfanb)	и	Т 1 П2 (рис.			4.7).	Постро
им их линию пересечения. Поскольку
одна из плоскостей, а именно, плос
кость	Г? является проецирующей, то
Т2 = /2, то		есть	фронтальный			след	Т2		Рис. 4.7. Модель построения
плоскости		Т	есть	одновременно			и	пересечения плоскости общего
фронтальная проекция искомой линии									положения и проецирующей

пересечения /.									плоскости

Поэтому ее недостающая проекция								/,	строится по принадлежно
сти: /, пдг, = 1,; /, п й ,					2 2 ; 1 2 •1, ей,;				22 -»2, е*,; (1„2,) = /,

Решение предыдущей задачи (рис. 4.6) может быть сведено к ре шению рассмотренной задачи, если одну из двух пересекающихся

плоское 1 ей			преобразовать в
положение				проецирующей
плоскости (рис. 3.27). Для это
го потребуется				всего		одно
преобразование				системы		ос
новных	плоскостей				проекций,
например:		X—-—»Х-- 1 .
							Г12
Если на			графической			мо
дели	обе		пересекающиеся
плоскости		заданы			родством,
например,			Ф(л, А,,А2)			и
Ф\^,А\,А'2),			то	последова
тельность			конструктивного
определения			их линии пересе
чения	может		быть		нижесле-		Рис. 4.8. Модель построения
дующей (рис. 4.8).							пересечения двух плоскостей,
							заданных родством
							94

1. Проведем в поле "первых" проекций родственных соответст вий (s,A\,A2) и (s',A\,A'2) произвольную прямую m, =т\. Исполь зуя алгоритм построения проекций точки, принадлежащей плоскости, заданной родством (рис. 3.16), построим "вторые" проекции т2 и т'2 прямых т и от', принадлежащих соответственно плоскостям: т с Ф , /и'с Ф'. Для построения этих проекций используются вспомогатель

ные прямые		а с Ф и а'сФ',		проекции которых соответственны в
родстве:	а,,	а2	- в р о д с т в е	(s,A{,A2);	а\,	а\ - в р о д с т в е (s',A\,A'2).
2. Определим			точку	К по	ее	проекциям	К2= т2Г\т'2,
К2 —> Кх	е /71,, которые являются соответственными в обоих родствах
(s,Ax,A2)	и	(s',A\,A'2).

3.Определим искомую линию / пересечения плоскостей по ее

проекциям,	соответственным в	обоих родствах:	12-(К2,Е2);
/, = (К,, £ , ) ,	где Е]=Е2= sf]s'.

4.3.Параллельность прямой линии и плоскости

Всоответствии с формулой (1.5) определения степени парал лельности, прямая и плоскость в пространстве Еъ вполне параллель

ны, поскольку рц =~Л = ^' ^ кУРсе стереометрии [7] известен при знак параллельности прямой и плоскости, формулированный в виде следующей теоремы: если прямая, не лежащая в данной плоско

сти, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоско сти, то она параллельна данной плоскости. Из признака параллель ности следует практическое указание для ее реализации на графиче ской модели пространства: построение прямой, параллельной данной плоскости, требует предварительного проведения какой-нибудь пря мой в этой плоскости. Логическая неопределенность "какая-нибудь" в признаке параллельности позволяет заданием дополнительных усло вий выделить однопараметрическое множество (пучок) прямых или единственную прямую из двухпараметрического множества прямых в плоскости, удовлетворяющих условию параллельности. В подтвер ждение сказанного рассмотрим пример. Пусть на графической модели

(рис.	4.9)	заданы: плоскость общего положения Ъ(а//Ь),			точка
C ( C , , C 2 ) £ l		и проекция	т2 прямой	т. Требуется построить полную
модель	прямой mim^nh)		по условиям:	Сет, т II2 . Очевидно,	этими
			95

условиями	определена			един
ственная прямая			т простран
ства. Действительно, парамет
рическое	число		прямой		про
странства Е3, на основании
формулы	(1.1),	равно		D ™ = 4 .
Определим размерность					усло
вия прохождения прямой про
странства	через		точку.		По
формуле	(1.4)		размерность			Рис. 4.9. Модель построения прямой
этого условия		<4л) вычисляет				Рис. 4.9. Модель построения прямой
этого условия		<4л) вычисляет				линии, параллельной плоскости
						линии, параллельной плоскости
ся следующим образом:
					( 2 - 3 - 1 И 1 + 1) •(3 + 0) = 2.
Признак (условие) параллельности прямой и плоскости про
странства	Е3	имеет размерность, вычисляемую по формуле (1.6):
Q,, = 1 • 1 -(3-1 -2 + 1 • I ) - 1. Условие задания одной проекции т2 ис-
„						1,0

комой прямой т имеет символическое представление: е2>0, и его раз мерность может быть вычислена по формуле (1.4) следующим обра зом:

Таким образом, сумма размерностей указанных условий задачи равна Qo6{^) + Qii+Qo6{exo) = Dn = 4, ч т о говорит о корректности поставленной задачи и единственности ее решения. На основании признака рассматриваемой параллельности и проведенного анализа условия задачи выполним ее конструктивное решение в следующей

последовательности:
1. т2 п а2 = 12,	nb2 =22;

2.12 - >1, еа, , 22 - >2, е/>,;

3.0 „ 2 | ) = /1;

4.щП\х, С, еот,.

Построенная прямая т^пц,)?^) является искомой. Вспомогатель ная прямая Щх,12 -щ) является, в соответствии с отмеченной выше логической неопределенностью "какая-нибудь", прямой пучка парал-

96

лельных прямых в плоскости X, выделенного из двухпараметрического множества прямых этой плоскости условием задания проекции /2 = т2 прямой /. Это условие, как было показано выше, имеет раз мерность Qo6(e2^0) = }.

4.4.Параллельность двух плоскостей

Всоответствии с формулой (1.5) степени параллельности две

плоскости	в	пространстве	Е3	вполне	параллельны, поскольку
1 + 1	= 1.	В стереометрии	[7]	известен	признак параллельности
Р/1

двух плоскостей, выраженный следующей теоремой: если две пере

секающиеся прямые одной плоскости соответственно параллель ны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллель ны. Из признака параллельности следует практическая рекомендация по определению плоскости, параллельной данной: необходимо про вести две пересекающиеся прямые в данной плоскости, а искомая плоскость определится парой пересекающихся прямых, соответствен но параллельных проведенным пересекающимся прямым. Рассмотрим

				решение задачи. Пусть
				на	графической			моде
				ли	заданы		плоскость
				Ъ(А, а)		и точка		М <£ £
				(рис.		4.10). Требуется
				построить плоскость Л
				по	следующим			усло
				виям:		Me А,		А//Е.
				Этими		условиями оп
				ределяется			единствен-
Рис. 4.10. Модель построения параллельных				н а я	плоскость.			Дейст-
		плоскостей		вительно.			Параметри
ческое	число плоскости пространства Е3,			согласно формуле (1.1),
равно	D™ - (3 - 2) • (2 +1) = 3. Условие прохождения плоскости через
точку	имеет	символическое	представление	е ^ о »	и	е г о размерность
определяется		в соответствии	с формулой (1.4) следующим образом:
/\ , 2.1ЛК		( 2 - 3 - 2 ) - ( 2 + 1)	(3 + 2 + 0) = 1.
/\ , 2.1ЛК

			97

Учитывая, что две плоскости в пространстве Е3 вполне парал лельны, поскольку их степень параллельности по формуле (1.5) равна

Pn = ^ Г ~ = ^' 0	П Ре Де л и м по формуле (1.6) размерность этой парал
лельности: Qlt	= 1 - 2 - ( 3 - 2 - 2 + 1-2) = 2. Таким образом, получаем

равенство параметрического числа плоскости пространства и суммы размерностей условий задачи:

Следовательно,		условия	рассматриваемой задачи		корректны	и
она имеет единственное решение.
Алгоритм решения задачи в соответствии с признаком парал
лельности может быть нижеследующим
1.	В плоскости проекций 772			проведем линию А2	е /2;
2.	/7	ел	а2	=	12	'•>

3.12 —» 1, Ё Й , ;

4.( 1 „ 4 ) = V.

5. т2 II а2, М2 е от7. тх II ах, Мх е гпх;

6.п2 II /2, М2 е и2, л, /7 /[, Л/, е /г,.

Искомая плоскость А определена двумя пересекающимися пря мыми т(тх,т2) и «(«,, л 2 ), при этом mil и, п/11.

Решение данной задачи можно представить как дважды повто ренное решение предыдущей задачи (п. 4.3). Действительно, из при знака параллельности двух плоскостей следует, что если каждая из двух пересекающихся прямых параллельна плоскости, то плоскость этих прямых параллельна этой плоскости. Поэтому вышеприведен ный алгоритм можно представить в следующем кратком виде:

1. тИИ, М ет;

2.nllzZ, М е п.

4.5.Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая и плоскость в пространстве £3 вполне перпендикулярны, так как согласно формуле (1.8) степень их перпендикулярности равна

0 + 1

1

г,

рх = —— = 1. В стереометрии известен признак перпендикулярности прямой и плоскости [7], выраженный следующей теоремой: если

прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежа-

1 ц и м в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В со ответствии с признаком, для построения прямой, перпендикулярной данной плоскости, необходимо в этой плоскости предварительно про вести две пересекающиеся прямые, а затем добиваться перпендику лярности искомой прямой каждой из проведенных пересекающихся прямых. Таким образом, решение задачи о перпендикулярности пря мой и плоскости основано на решении задачи о перпендикулярности двух прямых (пересекающихся или скрещивающихся). Рассмотрение перпендикулярности двух прямых на графической модели основыва ется на теореме о проекции прямого утла: если одна сторона прямо

го угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпен дикулярна, то на эту плоскость проекций прямой угол проециру ется без искажения. Рассмотрим доказательство этой теоремы. 11усть

ZABC = 90°, стороны прямого

угла удовлетворяют условиям:

сторо

на А В параллельна плоскости

проекций

П;

сторона

ВС

не

перпен

дикулярна и не параллельна плоскости проекций

П (рис.

4.11). До

кажем,

что

/.А' В' С=90°.

По

скольку

АВ I! П и

А' В'

есть

ор

тогональная

проекция

стороны

АВ,

то

АВИ А'В'.

Прямая

А В

перпендикулярна

плоскости

Ф(ВСГ\ВВ'),

где

В В'

-

проеци

рующая

прямая

(ВВ'1

Л).

Дей

ствительно.

АВ ± ВС

но

усло

вию

теоремы

и

ABLBB',

так

как

ВВЧП

и

АВ//П.

На

осно

Рис. 4.11. Интерпретация теоремы о

вании признака перпендикуляр

ности прямой и плоскости сле

проекции прямого угла

дует, что АВ

± Ф. Из известно

го в стереометрии определения прямой, перпендикулярной плоскости [7]: прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости - из этого определения следует, что перпендикулярная прямая перпенди кулярна любой прямой в этой плоскости. Поэтому из перпендикуляр ности АВ _1_ Ф следует А В X В'С, поскольку Д ' С ' с Ф как линия пе ресечения ФпП = В'С. А поскольку АВИА'В', то А'В'1В'С, то есть Z.A' В'С— 90°. Если ВС//Л, то утверждение теоремы очевидно.

98

99

Материал: 1671

Смотрите также: