Материал: 1671

11остроения, соответствующие теореме о проекции прямого угла, приведены на рисунке 4.12. В первом случае по условиям теоремы

плоскости. Пусть на графической модели заданы: плоскость общего положения 2,(ААВС) и точка M(MUM2)^L (рис. 4.13). Требуется построить прямую т по условиям: Мет, »гХХ. Выполним анализ условий задачи. Для этих целей используем результаты анализа усло­ вий, приведенных в пункте 4.3. Параметрическое число прямой линии

пространства Е3 равно Д ' " = 4 . Размерность условия прохождения прямой линии через точку пространства равна Oofl(e\(s(j)-2. Пред­ ставляя символически условие перпендикулярности прямой и

плоскости, как е3'д и учиты­ вая, что степень их перпенди­ кулярности равна 1, определим по формуле (1.9) размерность этого условия. Она будет рав­ на 0± =1-1 •(2-1 + 1-1) = 2. Таким образом, получаем

теореме построениях на графической модели (рис. 4.12), можно пред-

100

дожить следутощии алгоритм конструктивного решения рассматрииаемой задачи:

1. h<=T,:h2// X,h2-^ /г,; 2 . / c I i / . M . / ^ / j ;

4.6.Перпендикулярность плоскостей

лярности двух плоскостей, выраженный теоремой [7]: если одна из

двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Очевид­ но, здесь под перпендикулярностью следует понимать именно полуперпендикулярность двух плоскостей. В соответствии с признаком

перпендикулярности при заданных плоскости и перпендикуляре к ней

101

можно провести плоскость, перпендикулярную заданной. Для этого необходимо лишь, чтобы эта плоскость проходила через перпендику­ ляр. Но через указанный перпендикуляр к данной плоскость проходит пучок плоскостей, каждая из которых по признаку перпендикулярно­ сти будет перпендикулярна данной плоскости. Следовательно, выше­ приведенный признак перпендикулярности не определяет единствен­ ную плоскость, перпендикулярную данной. В этом проявляется след­ ствие отмеченной выше полуперпендикулярности. Для построения единственной плоскости, перпендикулярной данной, необходимы до­

условия задачи корректны и определяют единственную искомую плоскость. На основании вышеизложенного может быть предложен следующий алгоритм конструктивного решения рассматриваемой за­ дачи:

1. / 1 с А : / г 2 ( 1 , , 2 2 ) / / 1 ; А, -> /г, = (1,,2]); 102

2. / с Д Э Д Л у / Л ' ; f,-*/2 = ( 3 2 , 4 2 ) ; 3 . и 2 i / 2 , M 2 е и 2 , ¥ , e m 2 ;

Рассмотрим на графической модели конструктивное решение за­ дачи о построении прямого угла, расположенного в плоскости общего положения. Пусть заданы прямая общего положения а(а,,я 2 ) и точка

Q L = 1 • 1 • (1 -1 +1 • 1) = 1. Размерность условия пересечения двух пря­ мых в пространстве, выраженного символически е\'°0, определится по формуле (1.4) таким образом:

й л ( е ;: ? ) = £ 1 г > ) - а ± 1 1 - ( з + 1 ) = ,

103

Получаем тождественное равенство параметрического числа ис­ комой прямой и суммы размерностей условий:

Полученный результат говорит о корректности условий данной задачи. Алгоритм решения рассматриваемой задачи, на основании вышеизложенного, может иметь следующий вид:

1. А : //X, М2 е А2; Мх е hx,hx Lax;

2.fXx//X,Mxefx;M2Gf2,f2±a2;

3. (hf]f)f]a = K(Kx,K2);

4.(Kx,Mi) = mx, (K2,M2) = m2.

Прямая m(mx,m2) является решением задачи. Пункты 1 и 2 в этом алгоритме соответствуют решению задачи о перпендикулярно­ сти прямой и плоскости (п. 4.5). Пункт 3 алгоритма соответствует ре­ шению задачи о пересечении прямой и плоскости и его алгоритм был рассмотрен ранее (п. 4.1). Таким образом, в соответствии с данным алгоритмом, на графической модели построены проекции ZMXKXNX и

прямого угла ZMKN в плоскости общею положения

4.8.Частные случаи пересечений прямых, плоскостей

игиперплоскостей пространства Е4

Всоответствии с теоремой о пересечении линейных подпро­ странств для пространства Е4 можно составить следующую таблицу

пересечений (табл. 4.1):

Частными случаями расположения линейных подпространств бу­ дут те, в которых оба пересекающихся подпространства являются перпендикулярными плоскостям и гиперплоскостям проекций или одно из двух пересекающихся подпространств является перпендику­ лярным плоскостям и гиперплоскостям проекций.

4.8.1. Пересечение проецирующих подпространств

1. Прямая и гиперплоскость проецирующие.

Очевидно, что если прямая будет проецирующей относительно какой-либо гиперплоскости проекций, а гиперплоскость будет про­ ецирующей относительно какой-либо плоскости проекций этой же гиперплоскости проекций, то они будут параллельны. На рисунке 4.17 изображена прямая а 1 OXZT и гиперплоскость 27 ± ОХТ. Следова­ тельно, аIIOY и 2 1 OYZ. Следовательно, allЕ.

Z=T

Вели прямая будет проецирующей относительно какой-либо ги­ перплоскости проекций, а гиперплоскость - относительно плоскости проекций, не лежащей в этой гиперплоскости проекций, то их точка пересечения определяется без дополнительных построений. На ри­ сунке 4.18 Р = а[\Е , а 1 OXYZ, 2 1 ОХТ.

Для сокращения построений на последующих рисунках не будем указывать оси проекций X, Y, Z, Т на многомерных евклидовых чертежах.

2. Плоскость и гиперплоскость проецирующие.

Случай, когда плоскость и гиперплоскость проецирующие отно­ сительно одной и той же плоскости проекций изображен на рисунке 4.19, где а 1 OXZT, Г1 ОХТ, аъ II273. Следовательно, all Е.

одной и той же плоскости проекций, но а Н~21, то прямая их пересе­ чения определяется без дополнительных построений. На рисунке 4.20

а ± OXZT, XI OXZ.

Если плоскость и гиперплоскость проецирующие относительно разных плоскостей проекций, то прямая их пересечения определяется

(рис. 4.23).

Рис. 4.23. Модель построения пересечения проецирующих гиперплоскостей А и 27

На рисунке 4.25 a J_ OXZT, В L OXYZ . Их точка пересечения А лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций OYT.

4.8.2.Пересечение подпространств,

одно из которых проецирующее

1.Прямая проецирующая, гиперплоскость общего положения.

3. Одна плоскость общего положения, вторая проецирующая. Через проецирующую плоскость В проведена проецирующая

гиперплоскость Г(Г3) и построена прямая ее пересечения с « (рис. 4.28). Поскольку две прямые и плоскость В лежат в одной гиперпло­ скости Г, то они пересекаются в точке А = af] В, которая и есть ис­ комая.

4. Плоскость общего положения, гиперплоскость проецирую­

щая.

109