Материал: 1671

УДК 514.18(075) ББК 22.151 _3я73 К 93

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации, Г.С. Пианов (Московский государственный упниерситет леса); Доктор технических наук, профессор, М.Д. Вертинская (Иркутский государственный технический университет)

Работа создана на основе аналитической программы "Развитие научного потенциала высшей школы (2009 2010 годы)"; мероприятие 2 "Проведение фун­ даментальных исследований и области естественных, технических и гуманитар­ ных паук. Научно методическое обеспечение развития инфраструктуры вузов­ ской науки"; проект "Синтетическое моделирование технических изделий и мно­ гокомпонентных, многофак торных процессов".

К 93 Курс пачерчUICIMIOH геометрии на основе геометрического моделирова­ ния: хчебннк ' В.Я. Волкон, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцсва. - Омск: Изд-но С'ибЛДИ. 20)0. 253 с,

ISKN 47S-5 1>05174-01-8

Киша возникла ш лекционных курсов, прочитанных авторами в универси­ тетах юрода Омска и содержавших основы современной начертательной гео­ метрии. Она охватываем почти все традиционные разделы начертательной гео­ метрии, но imaiaci их е более общей точки зрения.

Киша расечныма на студентов университетов, магистрантов, аспирантов, а также на мрепо тншелей начертательной геометрии и научных работников в смежных облас n i x .

1абл. 3. Мл. l i i i O j i H o i p . ' . 38 назв.

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемая книга предназначена служить пособием по курсу начертательной геометрии. Задача, которую она должна решать, со­ стоит в том, чтобы в наибольшей степени приблизить курс начерта­ тельной геометрии к курсу высшей математики и её разделам. Авторы исходили из следующего методического положения: доступно, мак­ симально наглядно, конструктивно, на достаточно хорошем научном уровне изложить основные разделы начертательной геометрии, необ­ ходимые студентам, магистрантам, аспирантам университетов, пре­ подавателям вузов и инженерно-техническим работникам, желающим повысить свои знания в области начертательной геометрии. Авторы считают начертательную геометрию разделом математики, изу­

чающим теорию конструктивных методов отображения про­ странств различной конечной размерности и различной структу­ ры друг на друга.

Написанием этой книги авторы выражают свою озабоченность проявившейся в последнее время тенденцией принижать значение ма­ тематических основ и конструктивных методов начертательной гео­ метрии и усиливающимся стремлением подменить изучение геомет­ рии как математической науки изучением компьютерных реализаций частных методов начертательной геометрии. Поэтому эта книга явля­ ется, прежде всего, учебником, с помощью которого студенты, маги­ странты, аспиранты и преподаватели должны иметь возможность оз­ накомиться с основными принципиальными вопросами и спецификой теории и методов начертательной геометрии.

Авторы не видят принципиальных трудностей и препятствий для изложения методов построения конструктивных моделей конечно­ мерных линейных пространств, и поэтому не стали ограничивать ма­ териал учебника только моделью Монжа трехмерного пространства. Естественно связывать наглядные представления с моделями одно­ мерных, двумерных и трехмерных пространств. Но такой подход к теории начертательной геометрии, излагаемый в многочисленных, издающихся в настоящее время, пособиях, на взгляд авторов, являет­ ся устаревшим. Теория построения конструктивных моделей, обоб­ щающих модель Монжа, сохраняет свой геометрический характер при переходе к многомерным (конечномерным) пространствам. Авто­ ры стремились подчеркнуть тесную связь теории множеств, линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрий, некоторых

з

разделов алгебраической геометрии и конструктивной (начертатель­ ной) геометрии.

С этой целью некоторые главы книги содержат более глубокий и широкий материал, по сравнению с традиционными учебниками. Особое внимание в книге уделено конструктивной теории плоских и пространственных кривых. В имеющихся учебниках но начертатель­ ной геометрии этому вопросу уделяется очень мало внимания. Тради­ ционно считается, что теория кривых второго порядка - это предмет изучения аналитической геометрии, теория плоских и пространствен­ ных кривых высшего порядка предмет изучения алгебраической геометрии, изучение дифференциальных окрестностей кривых - предмет изучения дифференциальной геометрии. Поэтому, в лучшем случае, в курсах начертательной геометрии излагаются некоторые общие проекционные свойства кривых линий, что явно не удовлетво­ ряет современным требованиям к высшему образованию. Кроме того, теория кривых играет огромную роль в приложениях геометрии, на­ пример, н вычислительной геометрии при проектировании различных технических объектов, в кинематической геометрии при разработке плоских и пространственных схем различных кинематических меха­ низмов и других приложениях.

Такой раздел, как теория поверхностей изложена в книге, наобоpoi, очень кратко. Это объясняется отсутствием достаточно полной теоретической основы построения конструктивных моделей поверх­ ностей. Поэтому авторы принципиально отказались от описания консфуктивных свойств таких элементарных поверхностей, как поверх­ ности второго порядка, полагая, что они достаточно полно описыва­ ются в традиционных курсах аналитической и начертательной гео­ метрии. В предлагаемой книге поверхности рассматриваются как од­ номерные множества линий, определенные необходимым множест­ вом условий.

В книге достаточно подробно рассмотрена тема "Позиционные ыдачи". В отличие от традиционного изложения этой темы авторами предлагается единый подход к ее конструктивному рассмотрению, основанный на теоретико-множественном представлении множества пересечения в евклидовом пространстве. Известные в учебной, мето­ дической и научно-методической литературе методы решения пози­ ционных задач укладываются в логическую схему того или иного конструктивного алгоритма, вытекающего из предложенного в учеб­ нике общего подхода.

Изложение некоторых вопросов носит информативный характер и имеет целью привлечь внимание читателей к этим вопросам, ука­ зать на возможность их применения, дать стимул к дальнейшему изу­ чению. К таким вопросам относятся, например, анализ и синтез гео­ метрических условий при построении моделей конечномерного гео­ метрического множества, теория построения конструктивных моде­ лей конечномерных аффинных и проективных пространств, связь дифференциальных и конструктивных инвариантов кривых и поверх­ ностей, теория построения аналитических моделей линейчатых и циклических поверхностей и гиперповерхностей.

Развитие теории и методов начертательной геометрии, как разде­ ла математики, авторы видят в создании двух различных курсов -

курса элементарной начертательной геометрии, включающего в себя те разделы, которые в настоящее время принято относить к на­ чертательной геометрии, и курса высшей начертательной геомет­ рии, некоторые элементы которого нашли своё отражение в этой кни­ ге.

'Авторы несут коллективную ответственность за книгу и хотят указать, что каждый из них в большей или меньшей степени прини­ мал участие при написании каждой ее главы.

ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

1.1.Множества (основные понятии)

Под множеством понимается объединение по какому-либо при­ знаку в единое целое совокупности объектов произвольной природы. Объединенные объекты называются элементами множеств. Если эле­ ментами множеств являются точки, прямые или кривые линии, плос­ кости или поверхности, гиперплоскости или гиперповерхности, то есть объекты, изучаемые в геометрии, то такие множества называют­ ся геометрическими. Поскольку мы будем рассматривать только гео­ метрические множества, то для удобства будем впредь называть их просто множествами. Множество может быть конечным, если числоего элементов конечно, то есть может быть задано натуральным чис­ лом, или бесконечным, если число его элементов бесконечно, то есть не может быть посчитано. Множество, не содержащее ни одного эле­ мента, называется пустым и обозначается знаком 0 Если А - неко­ торое множество и Р - некоторое утверждение, то запись {.т t А : Р} означает: множество элементов из А , для которых справедливо ут­ верждение Р. Например, множество А = \(х,у) е R2 :х~ + у' < 4} представляет собой совокупность всех точек (х,у), принадлежащих закрытому кругу радиуса 2 с центром в начале системы декартовых координат числовой плоскости R2. Различают множества дискретные, например, множество точек числовой прямой, соответствующие це­ лым числам, и множества непрерывные, например, множество точек той же прямой, соответствующие действительным числам. В послед­ нем случае действительное число является параметром непрерывного множества точек прямой. Непрерывности множества значений пара­ метра соответствует непрерывность множества точек прямой и на­ оборот. Параметром непрерывного множества называется действи­ тельное число а или наборы действительных чисел (а,,о,, ... ,а я ), служащие для выделения элемента множества. Если каждый элемент множества Л принадлежит множеству 5, то А является подмноже­ ством множества В .

Геометрическое пространство представляет собой множество с элементами, между которыми действует определенная структура от­ ношений (система аксиом). Та или иная структура отношений опре-

6

деляст ту или иную геометрию данного пространства. Например, евк­ лидову, аффинную, проективную геометрии [1, 10, 37]. В последую­ щем изложении понятия "геометрическое пространство" и просто "пространство" будем считать тождественными. Если элементом про­ странства является точка, то пространство называется точечным, если прямая, то - линейчатым. Важной числовой характеристикой геомет­ рических множеств является размерность, то есть число независимых параметров, выделяющих элемент из множества элементов.

Над множеством могут быть выполнены различные операции [30J: объединение, разность, пересечение, декартово произведение, разбиение на подмножества, расширение [31] и др.

Декартовым произведением двух множеств называется множест­ во элементов, составленных из всех пар элементов, по одному при­

ва Х1,Х2,...,Хп есть непересекающиеся классы разбиения, например,

расширения можно подойти к понятию линейных множеств [31]. Множество считается линейным, если с любыми своими двумя точ­ ками оно содержит прямую, через них проходящую. Точка считается нульмерным линейным множеством, прямая - одномерным линей­ ным, плоскость - двумерным линейным, пространство Еъ - трехмер­ ным линейным множеством, пространство Е„ - «-мерным линейным множеством. Таким образом, множество считается линейным, если оно совпадает со своим линейным расширением, то есть X =< X >. Если оно не совпадает со своим линейным расширением, то оно счи­ тается нелинейным. Кривая линия — одномерное, поверхность — дву­ мерное нелинейные множества.

7