Материал: 1671

подпространство Ек в Еп есть однозначное отображение точек А е Еп

Третье обстоятельство заключается в том, что если рассматривать графические модели, которые составляют предмет изучения начерта­ тельной геометрии, то необходимо ограничиваться размерностью пространства образов, то есть необходимо принять к. = 2.

Рассмотрим в общем виде некоторые свойства операции проеци­

случае, тоже нарушается однозначность обратного отображения, ибо прообразом любой точки на Пх будет прямая плоскости ABC, прохо­ дящая через S0. Если ABCr\Sn_x = S,, то проекцией плоскости ABC, будет точка, так как <ABC,Sn_3> = Рп_2 и Pn_2 п Я2 = П0. Однознач­ ности обратного отображения нет, так как прообразом точки Я0 е 172 будет вся плоскость ABC .

Что касается подпространств Е3,Е4,... с: Еп, то в самом общем случае можно утверждать, что их проекциями на П2 будет вся плос­

(л - 2) и, следовательно, пересекается с Е3 по прямой. Поэтому про­

ецирования. Известно, что я-мерное пространство имеет бесконечно удаленную гиперплоскость Е™А. Следовательно, центр S„ 3 можно целиком погрузить в Е™{, удалив его в бесконечность (сделать не­ собственным) и обозначив как S™_3. Задать такой несобственный центр проецирования можно собственной (п - 2)-плоскостью, кото­ рая пересечет П2 в точке. Следовательно, можно на П2 выбрать про­ извольную точку и задать в ней (п - 2) различных прямых, направле­ ния которых будут определять положение несобственного центра 5,7-з • Операция проецирования станет параллельной. При параллель-

ном проецировании сохраняются все линейные свойства центрально­ го проецирования. Но появляются новые свойства, характерные толь­ ко для параллельного проецирования. К ним относятся нижеследую­ щие свойства.

1. Образами параллельных прямых АВII CD являются паратлельньте прямые А'В' II CD'.

2.Сохраняется простое отношение коллинеарных точек

(АВС)^(А'В'С).

3.Если АВIIП2, то \Щ = \А'В\.

Примем эти свойства без доказательств.

Пусть теперь центр S™_3 задан так, что (п - 2) различные прямые, задающие {п-2) направлений, не произвольны, а перпендикулярны плоскости П2. В этом случае параллельное проецирование становится ортогональным проецированием. Ортогональное проецирование со­ храняет все свойства параллельного, но появляются некоторые новые свойства, которые называются метрическими. К ним относятся ниже­

щая 2-плоскость Р2 перпендикулярна П2 и перпендикулярна А'В' .

А так как АВ II А'В', то Р2 перпендикулярна АВ и АВ 1 СС . Пря­

Рис. 1.14. Проекционное представление длины отрезка прямой

Но АЛ' не параллельна В В', так как Aaj * 5е0 . Проведем из точки В'

1.6.Размерность множеств элементов евклидова пространства

Вгеометрии известна формула Грассмана расчета размерности или параметрического числа линейного объекта:

где п - размерность объемлющего пространства; т - размерность плоскости, которая принадлежит объемлющему пространству. Спра­ ведливость формулы (1.1) можно доказать, основываясь на следую­ щих рассуждениях.

Три точки, задающие 2-плоскость, не должны принадлежать од­ ной прямой. Четыре точки, определяющие 3 плоскость, не должны принадлежать одной 2—плоскости и три точки из них не должны при­ надлежать одной прямой. Пять точек, определяющих 4-плоскость, не должны принадлежать одной 3-плоскости, четыре точки из них не должны принадлежать одной 2-плоскости, три точки из них не долж­ ны принадлежать одной прямой. И так далее. В результате получаем, что (т + 1) точки определяют т плоскость, если никакие q точек из них, где q<m, не принадлежать одной (д - 2) - плоскости . Следова­ тельно, для задания от—плоскости необходимы (т + 1) точки. Каждая из (т + 1) точек имеет в пространстве Еп параметрическое число, равное п. Параметрическое число множества (т + 1) точек будет рав­

(О-плоскость), прямая (1-плоскость), обычная плоскость ( 2 - плоскость), трехмерное пространство (3-плоскость) и т.д. Гиперпло­ скость - это подпространство, размерность которого на единицу меньше размерности объемлющего (операционного) пространства.

Рассмотрим примеры применения формулы (1.1). Размерность множества точек в пространстве Е3 будет следующей:

£)? = (3 — 0)(0 +1) = 3. То есть точек в пространстве Е3— трехпараметрическое множество, что соответствует известному определению по­ ложения точки в пространстве £3 тройкой чисел - координат х, у, z. Размерность множества прямых линий в пространстве Ег определяет­ ся таким образом: D\ = (3 —1)(1 +1) = 4. Следовательно, прямые линии в пространстве £, образуют четырехлараметрическое множество. Размерность множества плоскостей в пространстве Е3 имеет сле-

дующее значение: D3 = ( 3 - 2 ) ( 2 + 1) = 3, то есть плоскости этого про­ странства образуют трех параметрическое множество. Объекты с рав­ ными параметрическими числами называют двойственными. Предпо­ ложим, что в пространстве Е„ имеются две плоскости: &-мерная и (п-к-1) мерная. По формуле (1.1) для первой плоскости можно за­

двойственными объектами пространства Еп.

Кроме линейных элементов в пространстве Ег существуют и не­ линейные, то есть криволинейные элементы. Рассмотрим из них ал­ гебраические плоские кривые и алгебраические поверхности. Подсчет параметрических чисел указанных элементов можно выполнить, ис­ пользуя их уравнения. Так, например, общее уравнение кривых в го-

ванию пятипараметрического множества кривых второго порядка на плоскости. Обобщая этот факт можно утверждать, что параметриче­ ское число плоской алгебраическое кривой равно числу коэффициен­ тов ее уравнения, уменьшенному на единицу. Плоская алгебраическая кривая т -го порядка может быть представлена уравнением, которое запишем построчно с одинаковыми степенями переменных коорди­ нат:

Сумма коэффициентов этого уравнения в парах "симметрично" расположенных строк равна (т + 2). Исходя из того, что всего число строк равно (т + 1), можно получить параметрическое число плоской алгебраической кривой т-го порядка. Оно определится следующим образом:

(т + 1)(т + 2) ^ _ т(т + 3)

Аналогичным образом рассуждая, можно получить параметриче­ ское число алгебраической поверхности m - го порядка в пространстве

Если в формуле (1.2) принять п = 2 и т - 2, то получим парамет­ рическое число множества плоских кривых второго порядка на плос­ кости, то есть:

4 - i = | ' ( 2 + l ) ( 2 + 2 ) - l = 5 .

Этот результат подтверждают ранее приведенные рассуждения относительно определения параметрического числа по уравнению кривой второго порядка.

Если в формуле (1.2) принять п - 3 и т = 2, то получим:

I t , = | - ( 2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)-1 = 9.

Следовательно, параметрическое число множества алгебраиче­ ских поверхностей второго порядка (квадрик) в пространстве Ei рав­ но девяти и поверхность второго порядка определяется девятью па­ раметрами.

Из этого можно заключить следующее. Во-первых, то, что раз­ мерность множества квадрик в пространстве Еъ равна девяти означа­ ет, что квадрику общего вида можно задать девятью точками общего

26

положения. Следовательно, можно найти алгоритм построения любой точки квадрики по девяти заданным. Можно найти уравнение квадри­ ки, если в уравнение квадрики общего вида подставить координаты девяти заданных точек и решить систему девяти линейных уравнений с девятью неизвестными. В качестве неизвестных величин будут вы­ ступать коэффициенты уравнения.

Аналогичный вывод можно сделать и для коник. Но в таком слу­ чае вместо девяти точек в Е3, нужно задать пять точек общего поло­ жения в Е2 •

Во-вторых, необходимо иметь в виду существование, так назы­ ваемого собственного пространства алгебраических кривых и поверх­ ностей, в частности коник и квадрик. Собственным пространством данного геометрического объекта называется пространство мини­ мальной размерности, в котором может быть расположен данный объект. В этом смысле следует понимать общеизвестный факт, что коники являются плоскими кривыми. Другими словами, собственное пространство коник есть плоскость - двумерное пространство. Точно так же собственным пространством двумерных квадрик является трехмерное пространство.

Для подтверждения этого вывода поступим следующим образом. Возьмем на квадрике четыре произвольные точки, не лежащие по три ни на какой образующей. Через одну пару точек и через другую пару •1очск проведем две прямые. Эти две прямые будут лежать в трехмер­ ном пространстве, определенном четырьмя выбранными точками. Можно доказать, что любая точка квадрики будет принадлежать это­ му же трехмерному пространству, а также, что прямая, проведенная через любые две точки квадрики, тоже будет принадлежать этому же трехмерному пространству. Следовательно, трехмерное линейное пространство есть собственное пространство квадрики.

Таким образом, формула (1.2) задает размерность множества ги­ перповерхностей в их собственном пространстве.

(Возникает вопрос, какова будет размерность множества алгеб­ раических поверхностей в пространстве, размерность которого боль­ ше размерности собственного пространства этого множества. Ответ на него дает теорема: размерность множества в пространстве, раз­ мерность которого больше размерности собственного пространства этого множества, равна сумме размерности множества в его собст­ венном пространстве и размерности множества собственного про­ странства в данном пространстве. Поэтому для коник будем иметь

27

В третьих. Размерность множества нелинейных геометрических объектов можно найти конструктивным подсчетом числа параметров для представителя общего вида этого множества. Поясним это на примерах. Пусть требуется определить размерность множества коник на плоскости. В качестве представителя общего вида множества ко­ ник выберем эллипс. Будем рассуждать следующим образом. Чтобы построить эллипс, необходимо знать координаты его центра точку, определяемую двумя координатами (два параметра). Кроме этого, нужно знать направление какой-либо оси - угол между осью эллипса и осью координат (один параметр). Наконец, нужно задать величины осей эллипса (два параметра). Таким образом, множество эллипсов на плоскости пятипараметрично или имеет размерность равную пяти. Следовательно, размерность множества всех коник на плоскости рав­ на пяти. Однако размерность множества всех парабол на плоскости равна четырем. Это потому, что парабола не является коникой общего вида, так как один параметр уже использован на условие касания с несобственной прямой плоскости. Множество всех окружностей на плоскости имеет размерность три, так как два параметра потрачены па условие прохождения коники через две циклические точки плоско­ сти. Множество коник, вырожденных в пары пересекающихся пря­ мых, тоже имеет размерность, равную четырем, так как оно не явля­ ется множеством общего вида.

Аналогичные примеры можно привести для квадрик. К квадри­ кам общего вида относятся трехосные эллипсоиды и эллиптические гиперболоиды. Для построения трехосного эллипсоида необходимо знать координаты центра (три параметра), ориентацию любой оси (два параметра), ориентацию других двух осей относительно первой (один параметр), длины трех осей (три параметра). В сумме получаем девять параметров. Эллиптический конус есть вырожденная квадрика. Множество эллиптических конусов имеет размерность, равную вось­ ми. Действительно, для его задания необходимо иметь эллипс и точ­ ку, не лежащую в плоскости эллипса. Множество эллипсов имеет размерность равную пяти, а множество точек - трехмерно. Поэтому множество конусов - восьмимерно. И так далее.

Предположим, что в пространстве Еп ш-плоскость проходит че­ рез q + 1 заданные точки. Для полного определения т -плоскости не-

28

проходящей через заданную q-плоскость, определится следующим

1.7. Геометрические условия

/. 7.1. Условия инцидентности

Обобщенным условием инцидентности называется условие, гра­ фически пред ставимое так, как показано на рисунке 1.15.

В алгебраической геометрии существует понятие флага. Флаг - это ряд последовательно вложенных плоскостей разных размерно­ стей.

Предположим, что заданы два флага - полный и неполный. У полного флага плоскости меньшей размерности принадлежат плоско­ стям большей размерности, то есть 0-плоскость (точка) принадлежит 1-плоскости (прямой), 1-плоскость принадлежит плоскости и т.д. Ус­ ловие последовательной принадлежности для полного флага можно выразить следующим образом:

101 d 11J с 121 с [3] с . . . с [т -1] с [т].

Условие принадлежности для неполного флага можно выразить

чем разность размерностей соседних плоскостей в ряду последова­ тельных вложений может отличаться от единицы. При этом выполня­

инцидентности и обозначения соответствующих множеств применя­ ется буква е:

т, ml,...,1, 0

ак,ак_х,...,щ,ай

29