Материал: 1671

В приведенной формуле число верхних и нижних индексов рав­ но, а величины т,т-],...,\,0;ак,ак_1,а1,а0 - принимают значения

Рис. 1.15. Геометрическое представление обобщенного условия инцидентности

чисел натурального ряда. Число т определяет размерность искомого элемента (т-плоскость), а нижний или нижние индексы - размер­ ность пространства или подпространства, которому принадлежит ис­ комый элемент. Рассмотрим принадлежность (инцидентность) точки к плоскости в трехмерном пространстве. В этом случае т - флаг со­ стоит из одной точки, то есть т = 0, а ак - флаг состоит из одной

плоскости размерности ак=2. В таком случае получаем е?. Другой пример. Определим в четырехиараметрическом многообразии прямых пространства Е3 те прямые, которые пересекают заданную прямую. В этом случае получаем, что т = 1 и т-флаг состоит из прямой и точки, ей принадлежащей, а а^-флаг состоит из трехмерного пространства и прямой в нем. Следовательно, прямая флага принадлежит простран­ ству Е3, а ее точка принадлежит заданной в этом пространстве пря­ мой. Таким образом, получаем е3\\ Если т-флаг состоит из плоско­ сти, инцидентной ей прямой и инцидентной этой прямой точки, а ак - флаг состоит из пространства Е3, плоскости и точки, то условием ин-

Для прямых линий имеют место следующие условия инцидент­ ности: e[§;e2j/,e2j\elfQ;el'°-,el'2. Расшифруем некоторые из этих усло­ вий. Условие е2°0 определяет пучок прямых, е3°0 - связку прямых,

е2®— поле прямых.

совпадение плоскости пространства с заданной в нем плоскостью. Обобщенное условие инцидентности характеризуется размерно­

где п - размерность объемлющею пространства; т - размерность плоскости, которая удовлетворяет обобщенному условию инцидент­ ности; а, - "нижние" коэффициенты обобщенного условия инцидент­ ности.

Определим на основе формулы (1.4) размерности условий инци­ дентности для точки, прямой и плоскости прострапства Е3:

Рассмотрим подробное получение некоторых из указанных ре­ зультатов вычислений по формуле (1.4):

1.7.2.Аффинные условия

Для рассмотрения аффинных условий требуется введение поня­ тия несобственных (бесконечно удаленных) элементов. Прямая линия

адополняется несобственной точкой Ат, плоскость В- несобствен­ ной прямой b о» пространство Еъ — несобственной плоскостью Ат

пространство Е„ - несобственной гиперплоскостью /Г," " . Т о м а па­ раллельными будем считать такие две прямые, точка пересечения ко­ торых принадлежит несобственной прямой плоскости этих прямых. Прямая и плоскость параллельны, если их точка пересечения принад­ лежит несобственной прямой этой плоскости. Две плоскости парал­ лельны, если их линия пересечения принадлежит несобственной плоскости А,, пространства Еъ. Понятие "параллельность" является понятием аффинной геометрии. Не всякие два линейных элемента пространства могут быть параллельными. Например, в общем случае две прямые пространства Еъ являются скрещивающимися, также как прямая и плоскость в четырехмерном пространстве. Следовательно, параллельность двух линейных элементов пространства возможна при выполнении двух условий: линейные элементы должны пересе­ каться в этом пространстве, элемент их пересечения должен быть не­

странстве Е3 в общем случае действительно не пересекаются: 1 + 1-3 = - 1 .

Две гиперплоскости в пространстве Ел пересекаются по плоско­ сти, поскольку 3 + 3 - 4 = 2. Если эта плоскость несобственная, то две гиперплоскости параллельны в этом пространстве. Гиперплоскость и плоскость в пространстве ЕА пересекаются по прямой линии, по­ скольку 3 + 2 - 4 = 1. Если эта прямая несобственная, то названные элементы параллельны в рассматриваемом пространстве. Исходя из числа независимых точек, определяющих несобственный элемент пе­ ресечения, можно сформулировать условие параллельности исходных элементов. Так в последнем случае несобственная прямая определяет­ ся двумя точками. Поэтому гиперплоскость и плоскость в простран­ стве Е4 параллельны, если две пересекающиеся прямые плоскости параллельны каким-либо двум прямым гиперплоскости.

Условия параллельности одних и тех же элементов, но принад­ лежащих разным объемлющим пространствам, существенно разли­ чаются. Например, две плоскости в пространстве Е4 пересекаются в точке (2 + 2 — 4 = 0), следовательно, они будут параллельными, если прямая в одной плоскости будет параллельна какой-либо прямой в другой плоскости. В пространстве Е3 две плоскости пересекаются по прямой, так как 2 + 2 - 3 = 1. Если она несобственная, то получаем из­ вестный в школьном курсе стереометрии признак параллельности этих плоскостей. Различие параллельностей одних и тех же элементов в разных пространствах характеризуется степенью параллельности,

лельных элементов (прямых, плоскостей, гиперплоскостей), т и q -

размерности параллельных элементов, при этом m<q. Рассмотрим

Рц = —у- = 1, то есть гиперплоскости в этом пространстве вполне па­

раллельны.

Для определения размерности условия параллельности существу­ ет формула [4]:

и плоскости в пространстве £3 определится следующим образом: e//=l-J(3-l-2 + l-l) = l.

Размерность условия параллельности двух плоскостей в про­

перенести в другое параллельным переносом. Или, если для любых

параллельны. При этом их линейным расширением будет подпро­

Eq не найдется ни одной параллельной им прямой, то это означает, что пространства Ет и Ед не параллельны. Степень их параллельно­ сти равна нулю. Их линейным расширением будет подпространство

34

1.7.3.Условия перпендикулярности

Втрехмерном пространстве £3 через произвольную точку О не­ которой прямой можно провести плоскость А, перпендикулярную данной прямой. Все прямые этой плоскости, проходящие через точку О, то есть пучок прямых (0), перпендикулярны данной прямой. В пучке (0) прямых всегда найдутся две взаимноперпендикулярные прямые. Следовательно, в любой точке пространства Еъ существует тройка взаимно перпендикулярных прямых. В пространстве ЕА на некоторой его прямой выберем точку О. Проведем через эту точку все возможные прямые, плоскости и 3 -плоскости, перпендикулярные исходной прямой. Параметрическое число прямой пространства £ 4 ,

прямой к заданной прямой уменьшает на единицу ее параметрическое число. Поэтому множество прямых пространства £ 4 , проходящих че­ рез точку О перпендикулярно заданной прямой, двухпараметрично, то есть образует связку. В пучке прямых этой связки существует' две взаимноперпендикулярные прямые, перпендикулярные заданной прямой. В связке прямых существует прямая вне плоскости этих взаимноперпендикулярных прямых, перпендикулярная этой плоскости. То есть, через точку О заданной прямой пространства £4 проходит тройка взаимноиерпендикулярных прямых, перпендикулярных задан­ ной прямой. Эта тройка прямых определяет подпространство £ 3 , ко­ торое проходит через точку О перпендикулярно заданной прямой. Очевидно, все прямые подпространства £ 3 , проходящие через точку О, также перпендикулярны заданной прямой. Обобщая на простран­ ство Е„, можно утверждать о том, что через точку О заданной пря­ мой этого пространства проходит (и —1) независимых прямых, пер­ пендикулярных данной прямой, при этом никакая тройка таких пря­ мых не принадлежит одной плоскости. Следовательно, через точку О заданной прямой пространства Еп проходит единственное подпро­ странство Еп ,, перпендикулярное этой прямой.

Очевидно, обратное утверждение также имеет место: через точку О подпространства £„_, в пространстве Е„ проходит единственная прямая пространства, перпендикулярная к подпространству Еп_х, то есть перпендикулярная к его 1-плоскости, плоскости, 3 -плоскости,

35

... , проходящих через точку О. Таким образом, через произвольную точку пространства Еп проходят п взаимноперпендикулярных пря­ мых. Рассмотрим подробнее свойство перпендикулярности этих п прямых.

любая прямая одной из них, проходящая через точку О, перпендику­ лярна всем прямым другой, также проходящим через точку О. Такие две су-плоскость Е и (л — ^)—плоскость En_q, или два подпростран­ ства Е и Еп_д. называются вполне перпендикулярными.

Строгое определение понятия перпендикулярности может быть дано на основе абсолютов расширенных плоскости и пространства, которые дополнены несобственными элементами. Абсолют плоскости представляет собой несобственную прямую dXi этой плоскости с ус­ тановленной па ней эллиптической (абсолютной) инволюцией точек, определяемой парой циклических (мнимых) точек X и Y пересечения окружности этой плоскости с прямой d,r (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Абсолют расширенной евклидовой плоскости

Мнимая окружность к2 представляется как линия пересечения сферы пространства Е3я его плоскости А«>-

Рис. 1.17. Интерпретации перпендикулярности прямой и плоскости

В проективной интерпретации прямая а и плоскость О будут перпендикулярными, если точка А^= а(\Аюя прямая ах~ Q Г]А1Х1 соответственны в полярном соответствии относительно мнимой ок­ ружности к2:

Ах <г> о ж , аж <-> А сс, а х = аЛ, А сг. = Ах.

Две плоскости Ф и W в пространстве Е2 будут перпендикуляр­ ными, если образ А'^ несобственной прямой ах = Фр|4» в полярном

соответствии относительно мнимой окружности к2 принадлежит не­

точек, определяющих пространство Еп . В итоге получаем формулу:

Ф^-т-\ 11 'Уд'-]* принадлежащие несобственной гиперплоскости Aaj, между собой не пересекаются, поскольку согласно формуле (1.7) по­

кулярными и степень их перпендикулярности определяется по фор­

перпендикулярности, равную рх = — j — = 1, то есть они вполне пер­

пендикулярны. Прямая а и плоскость в в пространстве Е3 при усло­

вии а'х = ах или /г" = 4 * (рис. 1.17) имеют степень перпендикуляр­

ности, равную р± =^у-^- = 1, то есть они также вполше перпендику­

лярны. Две плоскости Ф и W пространства Еъ при условии Ф' е <//к или У,» ефх, где ф<в=ФГ\Ла>, ^00 =!РГ П^« (рис. 1.18) имеют степень

0 + 1 1

перпендикулярности, равную/?± = = - , т о есть две плоскости

этого пространства лишь полуперпендикулярны.

Рис. 1.18. Интерпретации перпендикулярности двух плоскостей

Для определения размерности условия перпендикулярности при­

Размерность условия перпендикулярности двух плоскостей в про­ странстве Е3 равна: Qx - — • 2(2 - 2 + — • 2) = 1.

39