Материал: 1671

Определим точки пересечения эллипсоида вращения 0 и прямой линии а (рис. 7.18). В соответствии с предложенным выше алго­ ритмом заключим прямую а в проецирующую плоскость 7*17/,.

линии к' и а на плоскость отображения 77", которой принадлежит линия к , получаем образы этих линий: к'—> к(кх,к2), а-*а'(и\,а\).

Рис. 7.18. Пример определения пересечения прямой и квадрики

230

Рассмотрим другой пример. Определим точки пересечения прямой а и параболоида вращения 0 (рис. 7.19). Решение задачи выполним на основе использования омбилической точки. Как было отмечено выше (при пояснении геометрического смысла и значения

решения задачи.

Рис. 7.20. Пример определения пересечения прямой и квадрики

Для всех вышерассмотренных задач на пересечение, в условия, которых была задана квадрика, решения выполнялись на основе кон­ струирования центра проецирующей связки Ф2(,) и выборе некоторой плоскости отображения.

Рис. 7.21. Пример определения пересечения прямой и квадрики

В некоторых случаях для достижения наибольшей простоты в построениях удобно применить некоторое линейное преобразование пространства Ej, в результате которого исходная квадрика преобразу­ ется в квадрику вращения. Пусть, например, заданы эллиптический параболоид 0, прямая а, и требуется определить точки пересечения аГ\0 (рис, 7.22). Выполним родственное преобразование простран­ ства £ 3 , в результате которого эллиптический параболоид 0 преобра­ зуется в параболоид вращения & с осью вращения /', которая служи­ ла для поверхности 0 линией центров непрерывного множества эл-

липсов в плоскостях, перпендикулярных линии i. Очевидно, гранич­ ный эллипс AX^j,^) отсека параболоида © преобразуется в окруж­

В результате применения родственного преобразования получаем

Рис. 7.22. Пример применения преобразования (родства)

задачу определения точек пересечения А'Г]&, решение которой было рассмотрено выше (рис. 7.19). Полученные точки пересечения A'F)@' являются образами искомых точек в родстве (А,Е,Е). Выполнив по-

строения прообразов точек пересечения а'Г\0' в родстве, тем самым получим искомые точки пересечения af]0.

Рассмотрим применение алгоритма 7.3 для случая линейчатой поверхности, не являющейся квадрикой. Определим пересечение про­ странственной кривой а и поверхности цилиндроида 0(т,п,А) (рис. 7.23), у которого линии т и п - направляющие линии, плос­ кость A JL П2 - плоскость параллелизма. В соответствии с алгорит­ мом 7.3 примем связку проецирующих, относительно плоскости П2,

ецирующая относительно п2 прямая, пересекающая линию а.

Рис. 7.23. Пример определения пересечения кривой линии и цилиндроида

Линия пересечения а'±(а\,а'2)= РГ]0 есть образ линии а на

поверхности 0 в отображении связкой [ja1. Точка А(Ау,А2) пересе-

2

чения образа d и прообраза а является искомой точкой пересечения

аГ\в.

Рассмотрим пример применения алгоритма 7.4 для случая поверхности вращения, также не являющейся квадрикой. Определим пересечение пространственной кривой а и поверхности вращения @(i,m), где /'(/,,/2) 1 П2 ~ ось вращения поверхности, т(тх,т2) - ее образующая линия (рис. 7.24). Для решения задачи в соответствии с алгоритмом 7.4 примем прямую i в качестве оси нормальной циклической конгруэнции \Jiy], плоскости окружностей ц/] которой

2

перпендикулярны оси /'. Рассматривая эту конгруэнцию в качестве

Рис. 7.24. Пример определения пересечения кривой линии и поверхности вращения

проецирующего фактормножества пространства 7%, то есть Е3 = *Р2(1) = Uv7' > и принимая плоскость П - Пу в качестве плоскости

2

отображения, строим образ — вырожденное (поскольку поверхность

начертательной геометрии, является задача о построении линии пересечения двух поверхностей. Для ее решения применяются различные способы: вспомогательных плоскостей, вспомогательных поверхностей и др. |2, 15, 20, 22J. Покажем, используя различные отображения пространства i% на плоскость, что эти способы являются логическим следствием общего теоретико-множественного подхода к решению задач на пересечение рассматриваемого типа.

Рассмотрим решения задач на основе применения линейного фактормножества пространства Е^. Этот подход применяется в тех случаях, когда одна из двух пересекающихся поверхностей является конической или цилиндрической. Такая поверхность, представляемая

фактормножество представляет собой проецирующую связку прямых с собственным или несобственным центром - ядром проецирования, которое исключается из фактормножества. В свете сказанного покажем применение алгоритма 7.2 для двух пересекающихся конических поверхностей &(S,а) и Q(F,b), где а(ах,а2) и b(bx,b2)

направляющие линии этих поверхностей (рис. 7.25). Поверхность О представляем следующим образом: 0 - Ф ш ) = [)q>1, где tp] - образующая прямая этой поверхности. Принимая вершину S в

можно рассматривать как образ поверхности 6> в ее отображении связкой U<p' *>а плоскость 11х. Возьмем любую образующую

y/]{y\,4/\)czQ и две точки F(F1,F2) и l(lul2) на ней. Используя проецирующую связку, построим образ F'(FX,F'2) точки F на

X

/7;

Рис. 7.25. Пример определения точки линии пересечения двух конических поверхностей

плоскости Я, : F2 -» V\; F\-> F\eSxFx. Образом точки 1 будет сама точка. В итоге получаем образ yniWn\^w\ii) [ФЯМ0И W1 в принятом отображении. Точка А'(А\,А'2) = у/пГ]а есть образ искомой точки пересечения. Сама точка А - проообраз, определяется гак: А\ -> Аг е у/\, А'2-> А2 ву/\. Очевидно, образом поверхности Q в рассматриваемом отображении будет пучок прямых с центром

Рассмотрим еще пример применения в алгоритме 7.2 проецирующего фактормножества пространства Е3> представля­

ющего собой связку Ф2(1)=и^' прямых ср . Определим несколько

2

точек линии персечения конической поверхности 0(S,m) и поверхности вращения Q(a,t), где m a t — соответственно направляющая и образующая линии, а - ось вращения (рис. 7.26). Последовательность алгоритмических действий и конструктивных построений может быть нижеследующей.

1. Поверхность 0 представляем как непрерывное однопарамет­ рическое множество прямых линий: О - Ф1(1) = {jcpl, где <р\(р\,(р\) - образующая этой поверхности.

2.Пространство £, "заменяем" фактормножеством £3 = Ф2<1) =

=[j(pl, представляющем собой проецирующую связку с исключен-

2

ным ядром 5(5,,5 2 ).

3. В качестве плоскости отображения принимаем плоскость

Я= Л,, которой принадлежит направляющая линия Ш поверхности

0.В этом случае образом поверхности 0 в принятом отображении

принадлежащих нормальной циклической конгруэнции с осью а .

5.Строим отображение одной из линий - окружности у1 на