Материал: 1671

изображение эллипса в плоскости, параллельной плоскости Р, малая ось которого совпадает с диаметром окружности п'; пара линий - ок­ ружность ri и эллипс с изображением В'2, D'2, принадлежат одному наклонному цилиндру с образующими, параштельными направлению

ки для удобства последующего его применения в решениях задач на

220

пересечение рассматриваемого типа. Пусть на конусе второго порядка (рис. 7.12), например, на прямом эллиптическом, имеются два раз­

диаметров есть аффинное свойство кривой второго порядка и состоит в том, что каждый из сопряженных диаметров делит пополам хорды кривой, проведенные параллельно другому диаметру. Очевидно,

особенность конических сечений отражена в свойстве 5 квадрики и может быть использована для решения задач рассматриваемого типа пересечений. Для определения центра S перспективности необходимо для кривой второго порядка на квадрике найти перспективно соответственную ей другую кривую второго порядка этой квадрики. Затем при помощи двух пар перспективно соответственных точек этих линий найти центр перспективности, который представляет собой вершину конуса перспективности. Эта вершина принимается в качестве центра проецирующей связки прямых, служащей фактормножеством пространства £ 3 .

Пусть на графической модели заданы изображения фронтатьного и горизонтального очерков отсека эллиптического параболоида и след Р, плоскости Р ± 7 7 , (рис. 7.13). Определим сечение поверхности плоскостью Р. Очевидно, искомым сечением является парабола. Отрезок С,Д есть горизонтальная проекция К\ искомой параболы. Построим се фронтальную проекцию к\. Для хорды СХЕ\ проведем соответствующий ей сопряженный диаметр Mj/Vj эллипса кх. Точка Е\ - ClD]f]M[N[ есть горизонтальная проекция вершины Е параболы кх. Для построения ее проекции Е\ воспользуемся вышеприведенным свойством 1 квадрики. В соответствии с ним две параболы в осевых

221

проецирующих плоскостях со следами и MlNl на плоскости 77] являются родственными, то есть находятся в перспективном

Это родство определено в пространстве Е$ плоскостью родства,

Рис. 7.13. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

горизонтальная проекции вершины 5 конуса перспективности линий кик'. Па рисунке 7.13 показаны построения фронтальных проекций 12,22,32 и 42 точек 1, 2, 3 и 4 параболы к' по их горизонтальным проекциям 1],2],3] и 4, на отрезке CxDx=k\. Как следует из приведенного описания решения задачи, центр S(SX,S2) является центром проецирующей связки Ф2<|), а плоскость Пх — плоскостью отображения. В этом отображении образом параболы к' является эллипс k(kt,к?).

Рассмотрим еще пример. Пусть на графической модели заданы очерки отсека однополостпого эллиптического гиперболоида Г и след Рх проецирующей плоскости РА-ПХ (рис. 7.14). Требуется построить линию пересечения ГГ]Р. Плоскость Р пересекает поверхность Г по гиперболе к' с проекцией к\ = Сх£\ на плоскости Пх. Как и в предыдущем примере, принимаем две кривые второго

родственного соответствия двух гипербол с проекциями Ц№х и MXN-X на горизонтальных следах проецирующих плоскостей, проходящих

определено плоскостью родства, проходящей через ось i поверхности

Наличие конуса перспективности (S,k) позволяет построить проекцию К2 искомой гиперболы сечения по множеству точек ее проекции /с*,. В рассмотренном примере проецирующая связка Ф 2 ^ определена вершиной S, а плоскостью отображения служит плоскость проекций /7,.

Рис. 7.14. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

Рассмотрим еще один пример применения свойства 4 квадрики, в котором одна из кривых второго порядка - окружность, не принадлежит квадрике. Определим линию пересечения отсека однополостного эллиптического гиперболоида Г с проецирующей

в виде двух отрезков CXFX и С\Е{. Отрезок СДС71Д,С2/32) есть хорда этой гиперболы. Примем CD в качестве диаметра окружности &(/Cj,/C2), расположенной для удобства решения задачи в плоскости 777//72, при этом iTj - горизонтальный след этой плоскости. Две

Рис. 7.15. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

одна проекция к\ гиперболы на нем позволяют построить

Воспользуемся теперь свойством 2 квадрики для решения другой задачи о пересечении рассматриваемого типа. Определим линию сечения трехосного эллипсоида Г проецирующей плоскостью Р J_ Пх

перспективности может быть определена одним из двух способов в следующей последовательности: 1,1', П2,2', = Sx, Sx -> S2 е 1222. В таком случае коническое сечение к' конуса (S,k) в плоскости Р определеяется по его известной проекции к\ = \\2\ без затруднений.

В данной задаче проецирующая связка Ф2(1> определена центром S, а плоскостью отображения служит плоскость уровня IPIIП2.

Выясним геометрический смысл свойства 6 квадрики для его успешного применения в задачах рассматриваемого типа. Каждая невырожденная квадрика, кроме гиперболического параболоида, содержит два семейства окружностей. Окружности одного семейства расположены в пучке параллельных плоскостей. Каждому пучку плоскостей принадлежат две касательные плоскости (у эллипсоида и двуполостного гиперболоида) или одна касательная плоскость (у

поверхности). Касательная плоскость в омбилической точке

пересекает конус вращения перпендикулярно его оси по окружности, радиус которой в вершине конуса принимает нулевое значение, то есть х2 + у2 = О. Откуда следует у - ±ix, i2 = - 1 .

Таким образом сечение конуса рассматриваемого типа в его вершине представляет собой две изотропные прямые, пересекающиеся в этой вершине. Любое сечение квадрики плоскостью А, отличной от пучка параллельных плоскостей, содержащего касательную плоскость с омбилической точкой 5,

Рис. 7.16. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

227

проецируется из точки S на произвольную плоскость 27 этого пучка в окружность. Действительно, точки пересечения двух изотропных прямых на поверхности квадрики с плоскостью А проецируется из точки S на плоскость 27 в две циклические точки, принадлежащие несобственной прямой плоскости 2\ Следовательно, линия сечения квадрики в плоскости А, содержащая две точки изотропных прямых, проецируется на плоскость 2 в линию второго порядка с двумя циклическими точками. Этой линией является окружность, поскольку только окружность пересекает несобственную прямую своей плоскости в двух мнимых точках, которые называются циклическими. У квадрик вращения два пучка параллельных плоскостей с окружностями сечений совпадают, при этом плоскости пучка перпендикулярны оси вращения квадрики. Несобственная точка оси вращения параболоида служит точкой касания параболоида с несобственной плоскостью пространства Е^, то есть является несобственной омбилической точкой. Поэтому эллипсы наклонных сечений параболоида вращения проецируются на плоскость, перпендикулярную оси вращения параболоида в окружность.

На рисунке 7.17 приведено решение задачи определения линии

плоскость 77j. Наличие конуса перспективности (S.k) и одной проекции к'2 искомой гиперболы позволяет построить другую ее

проекцию к\. В этой задаче проецирующая связка Ф2(,) определена центром S, а плоскостью отображения служит плоскость Я, .

Рассмотрим теперь примеры определения точек пересечения прямой линии а и квадрики 0. Для этих целей воспользуемся вышеописанными алгоритмами определения линии пересечения квадрики плоскостью Р. Смысл и общий алгоритм решений новых задач на пересечение состоит в следующем. Прямая линия а заключается в проецирующую относительно плоскостей проекций Я, или Я2 плоскость Р. Очевидно, точки пересечения прямой а и линии сечения к'= Pf]@ являются точками пересечения af]0. После

228

конструирования центра проецирующей связки Ф20) и выбора плоскости отображения П для целесообразного отображения на нее компланарных линий а и к', определяем образы искомых точек пересечения прямой а и квадрики &, как точки пересечения образов d и к линий а и к'. Точки - прообразы, соответствующие точкам - образам пересечения a'f]k в построенном отображении, являются результатом решения задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Рис. 7.17. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

229