Материал: 1671

Аналогично можно записать уравнение множества пучков пря­

И так далее.

В качестве примере рассмотрим получение уравнения линейча­ той поверхности, заданной условиями А2 • Аг • В3 (табл. 6.1). Пусть ус­

— — — + г2 = Ь1. Это есть уравнение искомой поверхности, записан-

{.У-а?

нее в неявном виде. (Рекомендуется построить чертеж поверхности самостоятельно). Следует заметить, что это не единственный способ получения уравнения этой поверхности.

Рассмотрим пример вывода уравнения циклической поверхности, заданной условиями Аъ-В2. Пусть условие Аг обеспечивается тем, что центр окружности принадлежит винтовой линии, а условие В2 обеспечивается постоянным углом наклона плоскости окружности к данной винтовой линии. Пусть окружность имеет постоянный радиус. Нетрудно подметить, что суммарная размерность условий равна че­ тырем. Учитывая, что множество окружностей постоянного радиуса

200

имеет размерность, равную пяти, получим однопараметрическое не­

х — г • c o s a + R • cos<5,

у= г - sin яг + R - sin <5 ,

2 = р • S .

Если у = 90°, /3-0°, то плоскостью параллелизма будет плос­ кость OXZ. Если 0 < у < 90°, /? = 0°, то будет существовать поверх­ ность параллелизма - прямой круговой конус с осью OZ. (Чертежи всех этих поверхностей рекомендуется выполнить самостоятельно).

Если центр образующей располагается на конической винтовой линии

x = a-S-cosS, у = а • 8 • sin S , z = р • S ,

а плоскостью параллелизма будет плоскость OXY, то уравнения по­ верхности будут иметь следующий вид

х = г • c o s e r + г + а • 8 • соъё,

у = г • sin а + а - 8 • sin 8 , z = P-S.

Вывод этих уравнений полностью анаюгичен.

201

ГЛАВА 7. КОНСТРУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Одной из основных тем учебного курса начертательной геомет­ рии является тема "Позиционные задачи". К позиционным относятся задачи на определение взаимной принадлежности и взаимного пере­ сечения геометрических объектов в евклидовом пространстве. Из­ вестное в существующих учебниках традиционное изложение этой темы предусматривает использование нескольких узкоспециализиро­ ванных методов решений задач на пересечение.

Рассмотрим построения различных алгоритмов решений позици­ онных задач, исходя из теоретико-множественных представлений множества пересечения двух множеств в евклидовом пространстве.

7Л. Алгоритмы конструктивного определения множества пересечения

Формула (1.7) позволяет определить размерность множества пе­ ресечения двух линейных множеств: т- плоскости и q - плоскости в пространстве Е<;. Покажем, что эта формула справедлива и для двух нелинейных множеств этого пространства. Пусть в пространстве Е„ находятся два пересекающихся линейных множества А""и У. Их общая часть - линейное множество пересечения Zp имеет размер­ ность, определяемую формулой (1.7): р = m + q-n. Введем в про­ странстве Еп нелинейное преобразование F, описываемое уравне­ ниями:

применения преобразования F линейному множеству Хт будет со­ ответствовать некоторый нелинейный образ. В силу непрерывности

функций /,,/,, ... ,/„ две достаточно близкие точки множества Хт

202

перейдут в две сколь угодно близкие точки, принадлежащие образу пого множества, то есть непрерывность в расположении точек явля­ ется инвариантом преобразования F. В силу взаимной однозначности

преобразования любой точке множества Хт будет соответствовать единственная точка - образ на образе множества Хт, то есть количе­ ство независимых параметров, определяющих положение точки - образа и точки-прообраза в фиксированной системе координат про­ странства Е„ будет одно и то же - т. Таким образом, количество т независимых параметров и их непрерывность являются инвариантами нелинейного преобразования F, что позволяет сделать вывод об ин­ вариантности размерности линейного множества Хт и других линей­ ных множеств пространства Еп относительно этого преобразования.

При использовании формулы размерности (1.7) множества пере­ сечения необходимо учитывать нижеследующее.

2.Формула справедлива для множеств Хт и Y4 общего поло­

1.m = q = 2, откуда следует р = 1, что указывает на то, что мно­

ставления каждого из этих множеств в виде фактормножества по от­ ношению эквивалентности, представляющем собой разбиение на не­ пересекающиеся классы, определенном на каждом из множеств X2 и

1.« т 2 П А ' 2 = ^ ' ;

2. o-2f]Y2 =^';

3 . ^ W = z ° .

Поскольку множество Z1*-0-1 = {Jz(} есть непрерывное однопараметрическое множество точек, то есть линия, то для ее определения необходимо непрерывное однопараметрическое применение приве­ денного алгоритма. Таким образом, однопараметрическому точечно­ му множеству \Jz° =Z 1 ( 0 ) взаимно однозначно соответствует однопа­ раметрическое множество \J<72 — Х^2) плоскостей или поверхностей. Представлял множество 271<2) = {Ja2 как фактормножество множества (пространства) Еъ по отношению эквивалентности, представляющем собой разбиение пространства £3 на однопараметрическое множест­ во непересекающихся классов а2 (плоскостей или поверхностей),

204

можно получить общий алгоритм конструктивного определения мно­ жества Z1(0) пересечения двух множеств X2 и Y2 пространства Еъ.

Алгоритм 7.1

1. £ 3 = 2 - 1 ( Ц =Ua2 =>ljff?,/ = l,2,...,*r;

2.а2(\Х2=(р)',

3.aff)Y2 = у/];

4.<р)Г\¥]=г*;

5.U4'=>Uz°=Z,(0>.

При конструктивной реализации алгоритма непрерывное однопа­

множественного рассмотрения пересечения двух множеств в про­ странстве £ 3 , соответствует известному в начертательной геометрии методу посредников, к которым относятся вспомогательные плоскостн и поверхности [2, 15, 20, 22].

разбиение этого пространства на классы эквивалентности, может быть положено разбиение одного из пересекающихся множеств X2 и Y на непересекающиеся классы, например X2 - Ф в д , с последую-

205

щим расширением множества полученных классов до проецирующе­ го фактормножества Ф2(1), то есть X2 = Фт -> Ф20) = Е3. На основа­

нии сказанного может быть предложен нижеследующий алгоритм конструктивного определения множества пересечения Zw> двух множеств X2 и Y2 (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Интерпретация алгоритма 7.2

Алгоритм 7.2

1. х2 = Фт = t V ;

2 . ф Н 1 ) _ > ф 2 ( 1 ) = и ^ = £ з .

2

3.г2 =vK1) = иУ;

4.Вводится П - плоскость проекций (плоскость сюръективного

одновременно проекция искомой линии Z ,

206

6. IV->!>}/;

8 . z ^ z » 6 ^ , U z ° = Z 1 ( 0 ) .

Отображение множества У" на плоскость // в п.6, выполняемое проецирующим фактормножеством Еъ = Ф2<" = \J<px, в общем случае,

в соответствии с логикой алгоритма 7.2, должно быть биективным. Рассмотренный алгоритм по существу сводится к алгоритму 7.1. Дей­ ствительно. Классы-линии <рх и у/х в алгоритме 7.2 принадлежит не­ которому множеству а2 (плоскость или поверхность), на котором ос­ новано построение алгоритма 7.1. Представление исходных пересе­ кающихся множеств в виде объединения непересекающихся классов X2 = []<рх и Y2 = [)у/х, пары которых принадлежат одному множест­ ву, то есть (фХ ,у/х) а а2, приводит к образованию непрерывного однопараметрического множества двумерных классов U а2 , образую-

ства Е3 - Ф2{Х> с последующим использованием его в качестве про­ ецирующего для отображения пространства на плоскость, в отличие от алгоритма 7.1, в котором выбор фактормножества Еу = 271(2) никак не оговорен. Очевидно, построение различных фактормножеств про­ странства £3 по отношению эквивалентности, представляющим со­ бой разбиение множества на классы, зависит как от геометрической формы пересекающихся множеств X7, Y2, так и от самого отноше­ ния эквивалентности, которое в частности может быть разбиением пространства £\ на непересекающиеся проецирующие классы. Прак­ тическая целесообразность того или иного алгоритма конструктивно­ го определения множества пересечения зависит от возможности дос­ тижения минимальной сложности геометрической формы тех проме­ жуточных элементов и классов элементов, которые участвуют в алго­ ритме.

207

Рассмотрим теперь второй случай, когда от = 1, q-2, р = 0. Как было отмечено выше, множество пересечения Zp в этом случае пред­ ставляет собой точку или конечное число точек и может быть полу­ чено, если оба множества Xх и Y2 линейны {X1 - прямая, F 2 - плос­ кость); оба множества Xх и Y2 нелинейны (X1 - кривая линия, Y2- поверхность); одно из множеств, например Х\ линейно (прямая), а другое - Y2 - нелинейно (поверхность), либо А'1, нелинейно (кривая линия), а У2— линейно (плоскость). Поскольку q~2, то точечное

то в возможных алгоритмах конструктивного определения множества

пересечения должно присутствовать множество 2 .

Рассмотрим алгоритм конструктивного определения множества пересечения X1П Y".

Алгоритм 7.3 (рис. 7.2)

=272(|) =и<?1 ~ проецирующее фактормножество (двухпара-

2

метрическое множество проецирующих классов - линий а]);

Рис. 7.2. Интерпретация алгоритма 7.3

1. Xх -» Х\, (Xх, Ху) с: \Jcrl - проецирующая поверхность; 2. ХХС\Х\ = Z° .

Очевидно, в этом алгоритме проецирующее отображение Л'1 —> Хху является биективным с инвариантной точкой Z 0 , которая является искомой.

Алгоритм 7.4 (рис. 7.3)

1. r2=r,(1)=iV;

2

3.Вводится /7 - плоскость проекций (плоскость сюръектинного отображения пространства £ ' 3 );

4.X1 -> .A"J7 (биективное отображение);

5.Г2 —> Уя (след проецирующего множества К2 );

6 . A - ' , r i ^ = Z & ;

7.Z*j^Z°eX\

Запись в п.2 алгоритма означает, что фактормножество У" = 4/Xtl) индуцирует в пространстве £, проецирующее фактормножество

У2(1) -\Ji//x = э т о г о пространства. Как и в случае рассмотренных

Рис. 7.3. Интерпретация алгоритма 7.4