Материал: 1671

щей т'. Порядок данной поверхности равен 2т.

3 Однополостный гиперболоид - линейчатая поверхность, у ко­ торой направляющими являются две взаимно скрещивающиеся пря­

раллельно плоскости Q(Qi). Находим точку 1, пересечения этой гори­ зонтальной проекции с /?,. Строим фронтальную проекцию 12 точки

1. Через гочкч L'2 и 12 проводим фронтальную проекцию образую­ щей. Рассмотренные три вида линейчатых поверхностей в учебной литературе называются поверхностями Каталана.

6.1.3.Геликоиды

Рассмотрим образование и задание линейчатых поверхностей, которые определяются условиями инцидентности, параллельности и перпендикулярности.

Напомним понятие степени перпендикулярности р±. Под степе-

Я

г - размерность объекта, инцидентного бесконечно-удаленному объ­ екту, полярному к т - мерному объекту, т - размерность меньшего по размерности из рассматриваемых перпендикулярных объектов.

Размерность условия перпендикулярности определяется по из­ вестной форму ле QL - р± • q(m ~ <? + /?х ' <?) • Степень перпендикуляр­ ности прямолинейной образующей к заданной прямой равна единице,

1 + 0 поскольку р± = —— = 1 .

Определим размерность условия перпендикулярности прямоли­ нейной образующей к заданной прямой. Она равна Q± = \-1(1-1 + + Ы ) = 1.

этих условий имеет размерность, равную единице. Суммарная раз­ мерность геометрических условий равна трем. Остается свободным

суммарного условия равна трем, так как размерности пересечения прямолинейной образующей с / и т равны каждая единице, а раз­ мерность условия перпендикулярности образующей к оси / также равно единице. Построим одну из образующих геликоида. Пусть на направляющей /(/15/2) выбрана точка А(А},А2). Через фронтальную проекцию А2 точки А проводим фронтальную проекцию образую­ щей. Находим точку В2 пересечения ее с проекцией щ направляю­

из чертежа, образующая является перпендикулярной к оси / и с ней скрещивается. Это говорит о том, что геликоид прямой и открытый.

3. Косой или наклонный закрытый геликоид задается осью /'(/,,;2), направляющей винтовой линией /(/,,/2) и конической поверх­ ностью 27(2,, 2 2 ) , которой будут параллельны образующие (рис. 6.10). Суммарная размерность заданных условий будет равна трем. Размерности условий пересечения образующей с осью / и с направляющей / каждая будет равна единице. Размерность условия

X-

параллельности образующих конической поверхности и геликоида также будет равна единице. Построим одну из образующих геликои­ да. Для этого выберем на направляющей /(/,,/2) по произволу точку А(А1,А2). Соединим горизонтальную проекцию Ах точки А с вырож­ денной проекцией i, оси i. Построим фронтальную проекцию B2S2 образующей конической проекции, горизонтальная проекция B]S] ко­ торой совпадает с проекцией ДС, образующей геликоида. Затем по­ строим фронтальную проекцию А2С2 образующей геликоида парал­ лельно фронтальной проекции B2S2 образующей конической поверх­ ности.

4. Косой открытый геликоид задается направляющей винтовой линией /(/],/2) и однополостным гиперболоидом, образующим кото­ рого параллельны соответствующие образующие геликоида (рис. 6.11). Однополостный гиперболоид задается направляющей ок­ ружностью а(аг,а2) и горловой окружностью Ь(Ьг,Ь2), которой каса­ ются прямолинейные образующие гиперболоида. Построим одну из образующих геликоида. Выберем на направляющей /(/];/2) точку А(А{,А2). Через проекцию Ах точки А проведем горизонтальную проекцию образующей, которая касательна к горловой линии b(b{,b2) и пересекает1 направляющую окружность а(ах,а2) гиперболоида в точке В(В{,В2). Затем построим проекцию В2С2 образующей гипер­ болоида. Через точку А2 проведем линию параллельно В2С2. Эта ли­ ния и проекция А1С1 представляет собой две проекции образующей рассматриваемого геликоида.

6.2. Образование поверхностей, несущих семейство кривых второго порядка

Частными видами поверхностей, несущих семейство кривых вто­ рого порядка, являются циклические поверхности. Циклическая по­ верхность несет семейство окружностей постоянного или переменно­ го радиуса, центры которых располагаются на плоской или простран­ ственной кривой. Если при этом плоскости окружностей перпендику­ лярны линии центров, го поверхность называется трубчатой.

Образующими поверхности будем считать следующие кривые второго порядка:

- окружности, размерность множества которых в пространстве

£, равна 6;

-параболы, размерность множества которых в пространстве £,

Комбинируя различные условия, некоторые из которых могут быть кратными, получаем все варианты образования поверхностей. При этом суммарная размерность условий должна быть равна пяти для окружности, шести - для параболы и семи для остальных кривых второго порядка. Но этого требования недостаточно. Дело в том, что необходимо учитывать, что все эти кривые - плоские. Поэтому сум­ марная размерность условий группы А не может превышать трех для

194

(жружности, четырех - для параболы и пяти - для эллипса и гипербо­ лы.

Суммарная размерность условий группы В не может превышать двух для всех кривых.

Таким образом, имеем следующие зависимости для образования

В = 2 - для эллиптических и гиперболических поверхностей. Рассмотрим их образование в общем виде.

1) Сочетание условий Ах -Вь А]3 В5 дает циклические поверхно­ сти общего вида.

Частными видами таких поверхностей являются торы, число ви­ дов которых бесконечно велико. Они образуются в случае, если все

три кривые в условиях А? представляют собой центральные кривые с центрами, расположенными на прямой, через которую проходят плоскости по условию By .

Если кривые будут, например, винтовыми линиями, то образуют­ ся винтовые торы.

Условие Л, • Bs аналогично.

Условие А^-Ву или Ау5-В5 позволяет образовать эллиптические торы (образующая есть эллипс).

33

2)Условие А, • В2, А(-Щ позволяет построить циклические по­

или гипербол.

3)Условия, приведенные в п. Г) и 2) могут быть преобразованы

вусловия А\-Ву, А2-В3, А\-Вх, А2-В5, А\-В2, А\-Въ, А2-В2, А\-Въ.

Получающиеся поверхности будут того же вида.

Итак далее.

В частном случае, когда образующая имеет центр или вершину, условие Ау или А2 может быть заменено условием инцидентности центра или вершины какой—либо данной кривой.

Рассмотрим пример. Построить цилиндрическую поверхность, заданную условием Ау- А2-В2, радиус образующей окружности по­ стоянный. 195

Следующим примером будет циклическая поверхность, опреде­ ленная условиями касания образующей окружности переменного ра­ диуса заданного прямого кругового конуса 2" (рис. 6.13). Изменение радиуса от минимального (окружностьа(ах,а7,а-.)) до максимального (окружность е(ех,е2,е3)) происходит пропорционально высоте точки касания от основания конуса. Образующая окружность изменяет угол наклона своей плоскости к плоскости основания конуса пропорцио­ нально высоте точке касаттия от 0° до 90°. Касание конуса окружно­ стью происходит но конической винтовой линии f(fx,f2,f3) • Линией центров образующих окружностей служит спиралеподобная линия

п(пх,п2,щ).

Поэтому условие, задающие поверхность, могут быть записаны в виде Ау А1 -В5. Не смотря на то, что суммарная размерность этих ус­ ловий равна четырем, еще одно одномерное условие заключено в за­ коне пропорционального изменения радиуса образующей.

Другим примером может служить поверхность, образованная однопараметрическим множеством парабол, плоскости которых прохо­

Рис. 6.13. Циклическая поверхность, определенная условиями А\ • А2-В,

197

Рис. 6.14. Поверхность однопараметрическо! о множества парабол

6.3.Аналитические модели поверхностей

Интересной и достаточно сложной задачей является получение уравнений поверхностей в явном, неявном или параметрическом ви­ де. Как уже было отмечено, поверхность есть однопараметрическое множество линий. Поэтому такое множество можно описать аналити­ чески. Начнем с простых множеств.

В общем случае однопараметрическое множество линий описы­ вается уравнениями

представляющими собой уравнения семейств проекций линий на плоскости OXY и OXZ. Например, легко можно убедиться, что урав­ нения у = ах, z = bx описывают пучки прямых в плоскости OXY и

OXZ. Если а и b, произвольны, то оба уравнения опишут связку плоскостей с центром в начале координат. Если a-- f{b), то уравне­ ния опишут пучок таких плоскостей. Если а = Ь, то это будет пучок плоскостей, равнонаклоненных к плоскостям OXY и OXZ.

верхность - прямой закрытый геликоид, ось которого параллельна

болоид с той же осью. И так далее.

Двухпараметрическое множество линий может быть описано системой уравнений

где и и v - параметры. Например, связка прямых с центром в точке A(xa,ya,za) описывается системой

Связка параллельных прямых, т.е. прямых параллельных направ­ лению OA, может быть задана уравнениями