Материал: 1671

3 го порядков малости относительно As. Следовательно, прямая АА\

имеет с кривой eth касание 2-го порядка, т.е. точка А является точкой распрямления и кривая etb расположена по обе стороны касательной прямой АА\, так как коэффициент при Ъ меняет свой знак при смене знака у As (рис. 5.37, в).

ч2?

б) в) г)

Рис. 5.37. Ортогональные проекции кривой на гранях трехгранника Френе

170

Проекция кривой е на нормальную плоскость (п,Ь) представляет собой линию епЪ, уравнение которой получается из общего уравнения смещения А А исключением составляющей по касательной t :

~Mnh = п-11 k(Asf + ...J + b • | i ^ ( A 5 ) 3 +...] •

Анализ этого уравнения показывает, что точка А'пЬ описывает

кривую епЬ со смещением по векторам nub соответственно 2-го и

3-го порядков в малом относительно As-. Составляющая смещения по вектору п направлена в сторону этого вектора (&>0,(А<;)" > 0 ) , т.е. проекция enh находится с одной стороны бинормали Ь. Составляю­ щая смещения по вектору b меняет свой знак со сменой знака Ду при фиксированном знаке кручения % > т-с- о п а расположена по обе сто­ роны главной нормали п. Поскольку составляющая по Ъ есть беско­ нечно малая более высокого порядка малости относительно As\ чем составляющая по п, то проекция еп1> более плотно примыкает к век­ тору главной нормати /?, чем к вектору бинормати Ъ. Имеет место ючка возврата 1-го рода (рис. 5.37, г).

Различные виды пространственных кривых линий, обладающих определенными дифференциально-геометрическими свойствами, рассмотрены в работах [2, 26].

5.2.4.Кривизна ортогональных проекций кривой линии

стью до знака определяют направления ортогонального проецирова­ ния на плоскости проекций Я, и П-, соответственно. В таком случае уравнение проекции я, будет иметь вид:

171

значные, непрерывные и дифференцируемые. В таком случае могут быть определены следующие производные вектора г\ :

Кривизна кх кривой ах может быть выражена известной форму­ лой [26]: А, = jr, "[. Отсюда следует формула:

(h )

Последнее равенство равносильно следующему:

и на их основе получить другие выражения, имеющие место в этой формуле:

/••г; - |/ - ( Л *)*]•[*:«-(*«•*)*] = -*(/ -А)-(и-Л);

(/^ -/^)2 = А2(г -А)2 -(п-к)2.

Подставим (5.3), (5.4), (5.7), (5.8) и следующие за ними выраже­ ния в формулу (5.5) и выполним необходимые преобразования. В ито­ ге получим выражение:

к2\\-(п-к)2-(7-к)2 +(Т-к)2 -(п-к)2]-к\Т-к)2 -(ri-lcf_ =

Аналогично для проекции а2 можно получить формулу ее кри­ визны:

173

где b - единичный вектор бинормали кривой а. Из формулы (5.9) следует:

1. В случае плоской кривой а величина J6 • к\ есть постоянная и

представляет собой косинус угла наклона плоскости кривой к плоско­ сти проекций Я,, а в случае пространственной кривой а - косинус утла наклона соприкасающейся плоскости ( ( , « ) к //,;

2.Величина |/ хк\ есть косинус угла наклона касательной кри­

вой линии а к плоскости проекций Пх.

Содержание п.п. 1 и 2 соответствуют известным в начертатель­ ной геометрии результатам исследования ортогональных проекций пространственной кривой, полученными из иных соображений [2].

Учитывая координатное представление каждого из единичных векторов / и b [26], уравнения (5.9) и (5.10) можно преобразовать к виду, удобному для практического вычисления кривизны ортогональ­ ных проекций а} и а2 исходной пространственной кривой а :

Последние формулы с точностью до обозначений производных совпадают с известными формулами определения кривизны плоской кривой [261, заданной параметрическими уравнениями х = x(t), у - y(t), где параметр t - не длина дуги этой кривой. В (5.11) диффе­ ренцирование производится по параметру S (длина дуги пространст­ венной кривой а), который выполняет роль параметра t для проек­ ции этой кривой. Вычисление кривизны по формулам (5.11) возможно только в заведомо обыкновенных точках кривых ал т а2, поскольку для них имеет место соответственно t\ * 0; г2 * 0, а также в их точках

174

распрямления, необходимым и достаточным условием существования

Предположим, что а, и а2 - две плоские кривые, рассматривае­ мые как заданные ортогональные проекции некоторой кривой а про­ странства. Пусть эти кривые описываются векторными уравнениями: /[ = г,( . 9,), где s0i < 5 , < 5 n l ; r2 =r2(s2), где д02 < s2 <sn2. В таком слу­ чае из проекционной схемы на рисунке 5.38, а также существования однозначных, непрерывных и дифференцируемых функций .v, - Jx(s), s2 = f2(,s), следует:

что позволяет определить единичный касательный вектор искомой

точками, как и прежде, обозначено дифференцирование по параметру s. Очевидно, для определения вектора t в точке Аеа с параметром s, необходимо выполнение для этой точки хотя бы одного из усло-

175

вует достаточному признаку существования обыкновенных точек [26]

Последнее уравнение позволяет преобразовать выражение (5.20) к виду:

ние выражения (5.21) также приводит к выражению второй производ­ ной:

+Пк2(^)2. ds

Уравнения 5.13, 5.14, 5.21, 5.22, 5.23 и 5.24 определяют положе­ ние трехгранника Френе кривой линии в сс текущей точке по ортого­ нальным проекциям этой кривой.

Рассмотрим пример. Выберем в качестве линий а, и а2 окруж­

ность и косинусоиду соответственно (рис. 5.39). Уравнения линииat

Учитывая это обстоятельство и используя известные вычислительные формулы для единичных векторов касательных и нормалей плоских

метров в (5.21), (5.22), (5.23) и (5.24), на основании (5.25) получим из­ вестную формулу [26] для вычисления кривизны цилиндрической винтовой линии: к = R(R2 + /и2ух.

Определение кручения кривой линии а по заданным ее проекци­ ям at и а2 представляет собой более сложную задачу, чем определе-

мне се кривизны к. Решение этой задачи может быть выполнено на основе дифференцирования выражения (5.13) по параметру S.

Отметим, что задача восстановления кривизны и кручения кри­ вой линии по ее модели - пары взаимосвязанных ортогональных про­ екций, в учебной и научной геометрической литературе не рассмат­ ривалась.

5.2.6.Проекционные свойства алгебраических кривых

Кроме общих проекционных свойств, характерных для неалгеб­ раических и алгебраических пространственных кривых, вытекающих из соответствия геометрий в малом пространственной кривой и ее проекций, алгебраические кривые дополнительно обладают проекци­ онными свойствами, которые отражают соответствие алгебраических характеристик этих кривых и их проекций [15, 16]. Приведем основ­ ные из них.

1.Для центрального проецирования в общем случае порядок ал­ гебраической кривой равен порядку ее проекции.

Как известно, порядок п пространственной алгебраической кри­ вой равен числу точек ее пересечения с произвольной плоскостью пространства. Проведем плоскость через центр проецирования. Эта плоскость пересечет кривую в П точках. В силу однозначности цен­ трального проецирования и-точек пересечения отобразятся в п точек пересечения прямой линии - следа проведенной проецирующей плос­ кости, и проекции пространственной алгебраической кривой линии на плоскости проекций.

2.Если центр проецирования является / -кратной точкой алгеб­ раической кривой порядка п, то порядок криволинейной составляю­ щей проекции кривой равен n — i. Действительно. Через / -кратную точку проходят г ветвей алгебраической кривой. Возьмем на каждой ветви по две точки, бесконечно близко расположенные к i -кратной точке. Эта тройка точек на каждой ветви определяет плоскость, пре­ дельным положением которой является соприкасающаяся в / - кратной точке плоскость этой ветви. Таким образом, в / -кратной