Материал: 1671

нения для определения коэффициентов: /(х 0 ) = с} +с2х0 +с 3 х 2 ;

f'(xQ) = с2 + 2с3х0; / " ( * 0 ) = 2с3 .

4.Соприкасающийся эллипс. Для эллипса с осями, параллель-

, х - с ,2 ,j-tf\-> .

следует л = 4. Поэтому, такой эллипс может иметь соприкосновение с кривой у = f (х) не ниже третьего порядка. Трижды дифференцируя

последнее уравнение эллипса, получим следующие уравнения:

а2(у - d) • y'+b2(x - с) = 0; а2(у - d) • у"+а2 • (у1)2 + Ь2 = 0;

0>-</)-У"+зуУ'=о.

Из этих уравнений, с учетом исходного уравнения соприкасаю­ щегося эллипса, могут быть получены его параметры а, Ь, с, d.

Аналогичным образом, как и в случае эллипса, может быть рас­ смотрена соприкасающаяся с кривой у — f (х) гипербола с осями, па­

5.1.8.Конструирования обводов из дуг кривых второго порядка

Известно множество способов конструирования обводов точек на плоскости. Основными из них, п о у ч и в ш и м и наибольшее практиче­ ское применение, являются [16]:

1. Радиусографический, когда через упорядоченный массив то­ чек проводится обвод первого порядка гладкости, состоящий из дуг окружностей разных радиусов, имеющих в точках стыка общие каса­ тельные;

2. Способ кривых второго порядка, когда обвод составлен из дуг кривых второго порядка, имеющих в точках стыка общие касательные

150

(обвод первого порядка гладкости) или равные значения кривизны (обвод второго порядка гладкости);

3.Сплайн - аппроксимация.

Доказано, что ось изогнутой гибкой тонкой линейки (spline), про­ ходящей через заданные точки, описывается полиномом третьей сте­ пени у = аа + ахх + а2х2 + а,х3, представляющем уравнение кубиче­ ской параболы. Эта парабола может быть задана: четырьмя точками, двумя точками и касательными в них. Обвод первого и второго по­ рядков гладкости составляется из дуг кубических парабол. Если, на­ пример, заданы две точки (хг,у,) и (xi+x,yi+x), и две касательные в них (у))'х и (у,-,,)',, то этими условиями, согласно уравнению кубиче­ ской параболы, могут быть определены четыре коэффициента в урав­ нении кубической параболы. Дуга полученной параболы пройдет че­

коники к

каждую к соответствующей точ­

ке: D—>С, то предельным положением секущей ЕА станет касательная tA в точке А, а секущей DC - касательная tc в точке С

коники. Получаем переход от задания коники пятью точками к ее за­ данию тремя точками и двумя касательными в них. Образующийся треугольник FAC называется касательным треугольником коники. Этот треугольник положен в основу известного способа инженерного дискриминанта, применяемого для конструирования обвода первого порядка гладкости из дуг коник [15]. Предположим, задан ряд точек

151

А,С, D, Е,... и положения касательных tA,tc,tD,th,. в них (рис. 5.26). Требуется провести через эти точки указанный обвод. Ес­

ли в касательном треугольнике AFC провести медиану FB' и вы­

брать на ней некоторую точку В, то в зависимости от значения отно­

После проведения касательной tB, параллельной стороне АС, полу­

чаем новую пару касательных треугольников AF{B и BF2C. В каж­

дом из них выполняются построения, подобные построениям точки В в треугольнике AFC. Для треугольника AF{B это будет точка #, . Последующие проведения касательных через полученные точки В:

коники к2 внутри треугольников указанной пары (например, tm II АВ

) приводит к образованию новых четырех касательных треугольников и т.д. Описанный процесс конструирования дуги коники к2 продол­ жается до получения требуемого числа ее точек. Затем выполняется по описанному алгоритму построение дуги коники к\ и дуги коники

к\. Очевидно, сконструированный обвод из дуг коник к2, к2, к2

представляет собой обвод первого порядка гладкости.

152

Зададим следующий аппарат отображения (проецирования) про­

Апринадлежит некоторая линия к . Очевидно, линии kt и к'\ в

153

Рассмотрим эллиптический конус второго порядка, у которого одно из двух семейств окружностей таково, что плоскости окружно­ стей этого семейства перпендикулярны одной образующей SN(S1NUS21V2) этого конуса (рис. 5.28). Если расположить этот ко-

Рис. 5.28. Пучок гомологии с инвариантными центром 5 и коникой к2

.V, = 5 ) с общей касательной t{. Проведем некоторую проецирующую плоскость A А. П2, пересекающую рассматриваемый конус. Очевид­ но, что линией пересечения будет некоторая коника к2(к2,к2). Ее ор­ тогональная проекция к2 также будет коникой, поскольку при орто­ гональном проецировании в общем случае порядок алгебраической кривой и порядок ее проекции равны. Коника к2 пересекает каждую окружность а\ , в\ , с\ , d\ , f\ , ... пучка окружностей в четырех точ­ ках: одной двойной (гонка касания S{ с общей касательной tx) и двух простых точках. Прямые, соединяющие пары простых точек пересе­ чения, образуют пучок параллельных прямых а, II вх II с, II dx II /,

поскольку каждая из этих прямых представляет собой ортогональную проекцию линии пересечения плоскости А и плоскости из пучка па­ раллельных плоскостей, которым принадлежат окружности рассмат­ риваемого семейства на конусе. Очевидно, каждая из окружностей

а'(а\ ,а\ ),b'(b\ ,b'2),... может быть рассмотрена как центральная проекция коники к2(к2,к2) на плоскость этой окружности из центра

S(S],S7), а сама коника к2(к2,к2_) может быть рассмотрена как цен­

тральная проекция каждой из этих окружностей на плоскость А ко­ ники к2.

На плоскости 77, получаем пучок гомологии с инвариантным центром 5, и инвариантной коникой к2 с параллельными осями го­ мологии а,, в,, с,, dx, fx, ... В каждой гомологии образом соответст­ вующей окружности является одна и та же коника кх . Ось гомологии проходит через точки пересечении этой окружности и коники к2. Для предельной окружности а\ пучка окружностей, то есть для окружно­

сти кривизны коники кх , ось гомологии ах проходит через центр S, - точку касания коники к2 и всех окружностей пучка.

Таким образом, анализ вышеизложенных построений позволяет утверждать о том, что каждая из окружностей, соприкасающихся с коникой в одной и той же точке, гомологична этой конике; точка ка­ сания есть центр гомологии; оси пучка гомологии образуют пучок па­

получено не из косвенных, а из прямых, более простых и наглядных рассуждений.

Рассмотрим применение гомологичного свойства коники к2 для построений дуг коник, используемых при конструировании обводов первого и второго порядков гладкости. Предположим, что заданы точки S,A и В коники к2 и ее касательные ts и tA (рис. 5.29). Требу­

логии точках коники и окружности пересекаются в точке на оси го­ мологии. Таким образом, гомология определена центром S, осью а и парой соответственных точек В и В' или А и А'. Задание гомоло­ гии и окружности а' позволяет построить ее образ к2, который явля­ ется искомой коникой.

Если в условии рассматриваемой задачи вместо точки В ввести значение кривизны конструируемой коники в се точке S, то для кон­ струирования коники необходимо провести окружность кривизны а'0

Рис. 5.30. Определение окружности

вания пучка гомологии на плоско-

кривизны коники

сти Я, (рис. 5.28) следует, что если провести jry4 из центра 5,, пере­

секающий окружности пучка, то касательные к окружностям пучка, проведенные в точках их пересечения с этим лучом, будут параллель­ ными. Это свойство касательных позволяет получить решение сле­

дующей задачи. Пусть заданы три точки S, В, А коники и касатель­ ные ts и tA к ней в точках S и А (рис. 5.30). Требуется определить кривизну коники в ее точке S. Для решения задачи построим произ­

вольную окружность d из пучка окружностей с общей точкой S и

искомой окружности а'а кривизны будет та же коника к2. Дальней­

шие построения выполняются в следующей последовательности:

/%П% -Tv: Ts er',,,, t\0!it'4 (по свойству касательных окружностей

щчка. провод.-:? кых в точках пересечения этих окружностей с лучом,

мый центр окружности кривизны а\, коники к2 в ее точке S .

Эта и предыдущая рассмотренные задачи могут быть положены в основу конструирования обвода второго порядка i ладкостн из дуг ко­ ник с общим значением кривизны в точках их стыка.

Множественные теоретические аспекты и нюансы различных ал­ горитмов конструирования обводов различных порядков гладкости из дуг коник и других плоских кривых, а также аналитическое описание сплайн-аппроксимации и сплайн-интерполяции можно найти в рабо­ тах [16, 18].

5.1.9. Моделирование плоской кривой па чертеже Монжа

В общем случае моделирование плоской кривой линии, принад­ лежащей плоскости общего положения, основано на модели этой

5.2.Пространственные кривые

Вучебных изданиях по начертательной геометрии пространст­ венным кривым линиям уделяется незначительной внимание. Исклю­ чение составляет учебник [2]. Очевидно, это связано с тем, что тради-