Материал: 1671

п,12 подвижной центроиды с2

;<р - пм лпА - угол между бесконечно близко располо­ женными нормалями рулетты. Отрезок МА2 становится отрезком нормали пл, то есть

,.Ф .. simp

11ервое равенство следует из теоремы синусов для треугольника. Вто­

В каждый момент времени касания центроид с, и с2 существуют

точки, связанные с подвижной центроидой, рулетты которых имеют нулевую кривизну, то есть для них выполняется условие РОм = =о. Множество таких точек представляет собой окружность, диаметр d которой, на основании формулы Эйлера, удовлетворяет соотношению

торая линия а2, жестко связанная с центроидой с2. При качении без скольжения центроиды с2 по центроиде с, линия а2 будет переме­ щаться, образуя непрерывное однопараметрическое множество линий

{а2}. Огибающей множества {а2 } будет некоторая линия аг, которая по аналогии с траекторией движущейся точки, неизменно связанной

141

с подвижной центроидой с2, может быть названа неподвижной рулеттой, поскольку она неизменно связана с неподвижной центроидой

сти, состоящей из точек распрямления рулетт. С учетом принятых обозначений формула Эйлера принимает вид (— + —) • cos а- — , из

обозначениями на рисунке 5.20 эти параметры представляют собой длины отрезков тх - РМХ; т = РМ. Таким образом, при неизменных центроидах с, и с2, и неизменном положении прямой пР - общей нормали сопряженных рулетт, проходящей через полюс Р - точку касания центроид с, и с2, точечному ряду {А/}, представляющему собой однопараметрическое множество точек касания всевозможных

ствие как раз и определяется вышеприведенными дробно—линейными соотношениями. Из проективной геометрии известно, что в этом слу­ чае соответствие рядов {м}апг и [ W | } c » P является проективным [10, 37]. Из дробно-линейного соотношения следует, что точка Р яв­

ствует проективное соответствие, следовательно, проективное соот­ ветствие существует и между рядами {Му} и {М2}, и точка Р являет­ ся двойной, то есть самосоответствснной в проективном соответствии этих рядов. Очевидно, пучок прямых (Fj), проецирующий ряд {М,}, и пучок прямых (Р2), проецирующий ряд {М2}, проективны, по­ скольку проективны ряды, которые проецируют эти пучки [10, 37]. Поскольку точка Р является двойной в проективном соответствии рядов {Mj} И {М0}, ТО двойной будет и прямая РхР2, соединяющая центры проективных пучков прямых, то есть она соответствует сама

себе. В этом случае, как известно [10, 37], проективные пучки прямых

143

(Р,) и (Р2) перспективны, то есть их соответственные лучи пересе­ каются в точках на оси перспективы. Из теоремы Бобилье следует, что осью перспективы служит прямая SPA.PM [8]. Из сказанного следует, что центры кривизны центроид с,, с2 и центры кривизны со­ пряженных рулетт а, и а2 связаны конструктивно простым построе­ нием Бобилье, которое позволяет при заданных центроидах и одной из рулетт в их контактном положении (М - точка контакта) опреде­ лить кривизну другой рулетты в ее отсутствие. Например, требуется

плоских зубчатых зацеплений формулу Эйлера-Савари. Введем сле­

Этим примером Л. Эйлер в 1767 г. впервые обосновал возможность использования эвольвенты окружности в качестве профилей зубьев цилиндрической прямозубой зубчатой передачи с параллельными осями колес.

5. /. 7. Касание кривых (элементы дифференциальной геометрии)

Довольно часто в результате выполнения теоретического иссле­ дования либо эксперимента получается массив точек на плоскости и возникает задача проведения линии через упорядоченный массив то­ чек либо линии через определенные точки с заданными в них допол­ нительными условиями: положением касательной прямой, значением кривизны и др. Кроме того, иногда требуется заменить заданную ли­ нию другой линией по определенным условиям замены. Подобные задачи относятся к задачам аппроксимации, то есть когда требуемся заменить одну функцию, заданную массивом точек, графически либо уравнением, другой функцией, удовлетворяющей определенным ус­ ловиям. Известны следующие основные методы аппроксимации функции [15, 18]:

1. Интерполирование, когда требуется провести кривую через определенные точки исходной кривой;

2. Приближение функций, когда исходная функция на множест­ ве ее точек заменяется другой функцией с использованием опреде­ ленного критерия приближения, например, минимизация суммы квадратов отклонений аппроксимирующих и исходных значений

функции: Ziy'i^ Уаппрок)2 = т ' п ;

/=1

3. Построение обвода, представляющего собой составную кри­ вую, используемую в качестве аппроксимирующей линии, при этом под обводом понимается линия, составленная из дуг кривых одного или различных видов, в точках стыковки которых должен быть вы­ держан определенный порядок гладкости (порядок касания).

Рассмотрим основные положения теории касания плоских кри­ вых, известной в дифференциальной геометрии [26] и ее приложениях |8], с точки зрения их практического применения. Пусть имеем две

[хх, хп] и дифференцируема в каждой внутренней точке этого отрезка,

дет стягиваться в точку х0. В пределе для всех вышеприведенных

веденному выше. Из вышеизложенного следует важный результат о том, что две алгебраические кривые порядков тип могут иметь ме­ жду собой касание не выше ( W - W - I ) - J O порядка, поскольку по тео­

кривой касание не ниже первого порядка. Прямая является касатель­

ной к кривой у- f(x) в некоторой ее точке (х0,>>0). Действительно. с,х0 + с 2 - уп = f(x0); у'„ = Г (*о) = с\; с г = У о _ У'о 'хо • Таким обра­

торых / " ( х ) = 0, называются точками распрямления. В этих точках касательная к кривой проходит через три бесконечно близкие точки.

2.Соприкасающаяся окружность. Из уравнения окружности

(х-a)2 +(y-b)2 -R2 = 0 следует, что и = 3. Поэтому окружность с

148

кривой y~f(x) может иметь касание не ниже второго порядка. Из уравнения окружности можно получить последовательным диффс-

ния трех параметров окружности, соприкасающейся с кривой в точке

Эти уравнения совпадают с известными уравнениями, опреде­ ляющими окружность кривизны кривой в некоторой ее точке (л\у). Таким образом, соприкасающаяся окружность является окружностью кривизны кривой линии. С другими кривыми второго порядка окруж­ ность пересекается в четырех действительных точках. Следовательно, на основании сделанного выше вывода о касании двух алгебраиче­ ских кривых, она не может иметь с ними касание выше третьего по­ рядка. В вершинах кривых второго порядка, в которых их кривизна достигает экстремума, соприкасающаяся окружность имеет касание третьего порядка, то есть она проходит через четыре бесконечно близко расположенные точки этих кривых.

3. Соприкасающаяся парабола. Пусть задана парабола с осью, параллельной оси OY: у = с, + с2х + с3х2. Очевидно, что /7 = 3. Сле­ довательно, такая парабола может иметь с кривой у - f(x) касание

не ниже второго порядка. Из уравнения параболы, соприкасающейся с кривой _у = f(x) в точке (х0,у0) можно получить следующие урав-

149