Материал: 1671

На основании вышеизложенного рассмотрим вначале моделиро­ вание на плоскости кривой линии пространства Е3.

5.1. Плоские кривые линии

Из аналитической геометрии известно, что если ввести на плос­ кости декартову систему координат X, Y, то одно уравнение между текущими координатами точки F(x, у) = 0 в общем случае определя­ ет на плоскости геометрическое множество точек — кривую линию. В начертательной геометрии, с точки зрения геометрического представ­ ления, кривая линия считается плоской, если все ее точки принадле­ жат плоскости.

5.1.1.Типы точек плоской кривой

ной, непрерывной и дифференцируемой [26]. Геометрический смысл определения простого отрезка кривой ясен из рисунка 5.1. Функция f(x) определяет взаимно однозначное отображение отрезка [х,,х2] прямой линии на отрезок [ Л , , ^ ] кривой линии. Непрерывность и дифференцируемость функции f(x) обеспечивают плавный ход кри­ вой линии на отрезке [А{,А2], исключающий появление точек само­ пересечения (точка М,) и других особых точек (рис. 5.2). Очевидно,

кривой линии имеет вид простого отрезка. В этом прямоугольнике

называются особыми. Точки Мх и М2 на рисунке 5.2 являются осо­ быми.

Особые точки кривой линии могут двойными, тройными и т.д. гонками [26]. Укажем типы и примеры двойных особых точек пло­ ской кривой.

1. Изолированная точка, определяемая как точка самопересече­

X

'0

\

\

Рис. 5.3. Изолированная точка кривой

геометрическую интерпретацию - она представляет собой сечение (нулевая окружность) кругового конуса плоскостью, проходящей че­ рез его вершину. Это сечение представляет собой пару мнимых (изо­

ки возврата первого рода (рис. 5.5, а)) и точки возврата второго рода

(рис. 5.5, 6)). На первом рисунке изображена полу кубическая парабо­ ла у2 -х3 = 0 , на втором - кривая (у-х2)2 - х 5 = 0 .

X

собой две касающиеся параболы (рис. 5.6, б)), у кривой, состоящей из двух касающихся окружностей, и представляющей собой осевое се­ чение поверхности тора, образующая окружность которого касается оси Y вращения тора (рис. 5.6, в)).

В зависимости от вида уравнения, записанного в декартовой сис­ теме координат, кривая линия может быть алгебраической или транс­ цендентной [16]. Нераспадающаяся алгебраическая кривая порядка п

Xвторого порядка не могут иметь осо­ бых точек. Кривая третьего порядка

точку - точку самопересечения (рис. 5.7).

5.1.2.Элементы дифференциальной геометрии плоской кривой

Известно, что вблизи обыкновенной точки /10(х0,у0) кривая ли­ ния имеет вид простого отрезка и может быть выражена уравнением v = / ( х ) . Точка А на простом отрезке кривой определяет ее секущую

кривой [2]. Очевидно, для окружности радиуса R таким графиком

1 оудет прямая линия a = — s.

R

стремится периметр ломаной, вписанной в кривую линию, при таком неограниченном возрастании числа звеньев ломанной, когда длина наибольшего из звеньев стремиться к нулю.

Как следует из рисунка 5.9, а) при движении точки по кривой происходит непрерывное изменение величин s (удаление движущей­ ся точки по кривой от ее начального положения) и а (угол поворота касательной относительно ее начального положения). Степень ис­ кривленности кривой линии характеризуется ее кривизной к , опре-

125

дельной касательной окружности называется радиусом кривизны кривой в ее точке касания с этой окружностью, а сама окружность на­ зывается окружностью кривизны. Взаимное расположение окружно­ сти кривизны и кривой в точке их касания таково, что окружность кривизны в этой точке одновременно пересекает кривую и касается ее, то есть имеет место касательное пересечение [26].

Если построить график функции а = f (s) изменения параметров а и s кривой т, то можно определить кривизну кривой в любой ее обыкновенной точке (рис. 5.12, а, б). Определим, например, кривизну

Рис. 5.12. Изменение кривизны кривой линии и эволюта кривой

5.7.3.Эволюта и эвольвента. Касание кривых

Геометрическое место центров кривизны плоской кривой линии представляет собой кривую линию е, которую называют эволютой данной кривой т (рис. 5.12, а)). Эволюту определяют также как оги­ бающую нормалей данной кривой. Первоначальная кривая относи­ тельно своей эволюты называется эвольвентой. Из геометрической схемы образования эволюты следует известное в дифференциальной геометрии [26, 34] равенство, определяющее взаимосвязь эвольвенты и эволюты: 77,Е2 - R2-Ri, где ЕХЕ2- длина дуги кривой между точ­ ками Ех и Е2 эволюты; 7?,, R2 - радиусы кривизны эвольвенты т в се точках Л{ и А2 соответственно. Приведенное равенство может быть представлено следующим образом: EtE2 = (R2 + с ) - ( Л , + с), где с - действительное число. Из последнего равенства следует, что, вопервых, через каждую точку касательной к эволюте проходит единст­ венная эвольвента, во-вторых, для одной и той же эволюты существу­ ет однопараметрическое множество эвольвент. Поскольку касатель­ ные к эвольвентам этого множества в их соответствующих точках

127

(точках, принадлежащих одной общей нормали эвольвент множества) параллельны, то эвольвенты множества представляют собой парал­ лельные кривые.

Взаимосвязь геометрий эвольвенты и эволюты позволяет подойти к важному, с точки зрения теории и практики, понятию касания (со­ прикосновения) кривых линий. Касание двух кривых линий характе­ ризуется наличием у них в общей точке общей касательной и общей нормали (рис. 5.13).

точке имеется только общая касательная, то кривые имеют касание первого порядка (рис. 5.14, а)), для которого характерно несовпадение точек касания эволют еа и ев с общей нормалью п линий а и в со­ ответственно.

Если у касающихся кривых а и в в их общей точке совпадают касательные и их эволюты еа и ев имеют касание первого порядка, то первоначальные кривые а ж в имеют касание второго порядка, то есть у них имеются общая касательная в общей точке и один радиус кривизны (рис. 5.14, б)).

Если у касающихся кривых а и в в их общей точке совпадают касательные, их эволюты еа1 и ев1 первого порядка имеют касание второго порядка, то есть эволюты еа2 и ев2 второго порядка имеют касание первого порядка, то первоначальные линии а й в имеют ка­ сание третьего порядка и т.д. (рис. 5.14, в)).

Таким образом, если у двух касающихся кривых линий порядок их касания равен п, то в их общей точке касания первый порядок ка­

первого порядка.

В технике нашли различные применения эвольвенты окружности. Так, например, профили зубьев колеса и шестерни в зубчатой переда­ че в сечении плоскостью, перпендикулярной их осям, очерчены по дуге эвольвенты окружности, вследствие чего такая зубчатая переда­ ча называется эвольвентой . Впервые она была предложена Л. Эйле­ ром в 1767 году.

5.1.4.Способы образования ппоских кривых линий

При решении множества различных теоретических и практиче­ ских задач возникает необходимость в получении информации о форме и геометрии плоской кривой линии, определяемой условиями задачи. Одна и та же кривая линия может быть определена различны­ ми условиями, каждое из которых выводит на определенный способ образования (конструирования) этой кривой. Из множества способов, различающихся теоретическим обоснованием и конструктивной реа­ лизацией, можно выделить основные, наиболее часто применяемые. К ним относится нижеследующие способы образования кривых линий.