Материал: 1671

1.Кривая линия определяется как линия сечения поверхности плоскостью. Например, кривые второго порядка издревле определя­ лись греками как сечения кругового конуса различными плоскостями.

2.Кривая линия рассматривается как проекция (линейная: цен­ тральная, параллельная, ортогональная, или нелинейная: косая, окружностная, винтовая и др.) пространственной или плоской кривой линии на плоскость, например, центральные проекции окружности - это кривые второго порядка. Кривая может быть рассмотрена как вы­ рожденная проекция (след) поверхности на плоскости, например, окружностная проекция кругового тора на его осевую плоскость - две окружности.

3.Кривая линия определяется как геометрическое множество точек, подчиненных определенному метрическому условию. Напри­ мер, Евклид рассматривай конические сечения (эллипс, гипербола, парабола) как геометрические места точек, сохраняющихся постоян­ ное отношение расстояний от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).

4.Кинематический способ. В этом случае плоская кривая рас­ сматривается как траектория движения точки по определенному зако­ ну. Например, циклоидальные кривые представляют собой траекто­ рии точки, жестко связанной с окружностью некоторого круга, кото­ рая катится без скольжения по окружности другого круга. Кинемати­ ческий способ образования кривых был положен Декартом в основу определения кривых методом координат. В кинематической геомет­ рии изучаются различные кинематические способы образования кри­ вых линий [8].

5.Кривая рассматривается как множество точек пересечения линий двух проективных пучков. Например, в проективной геометрии известна теорема Штейнера [10, 37], согласно которой кривая второго порядка представляет собой множество точек пересечения соответст­ вующих прямых двух проективных пучков прямых первого порядка (рис. 5.15), включая центры пучков. В частности, если угол в паре лу­ чей первого пучка равен углу в паре соответствующих им лучей вто­ рого пучка, то получаем проективное образование окружности, если

при этом вращение лучей в обоих проективных пучках имеет одно направление. Если вращение разное, то получаем гиперболу [37J. Кривая третьего порядка, применяемая в синтезе плоских механизмов [8], определяется как множество точек пересечения соответствующих элементов двух проективных пучков:

пучка прямых первого порядка и пучка кривых второго порядка. Два проек­ тивных пучка кривых второго порядка определяют кривую четвертого поряд­ ка и т.д., то есть кривые высших по­ рядков образуются при помощи проек­ тивных пучков кривых низших поряд­ ков.

6. Кривая определяется заданием ее дифференциально-геометрических свойств, то есть свойств, определяю­ щих геометрию кривой в матом. По

условию задачи составляется соотношение между бесконечно матыми элементами линии в виде дифференциального уравнения, после­ дующее интегрирование которого приводит к обычному уравнению кривой [29]. Например, трактриса представляет' собой кривую, у ко­ торой длина отрезка полукасательной есть постоянная величина а

(рис. 5.16). Изначальное дифференци­ альное уравнение этой кривой имеет

ОР после интегрирования, параметриче­

7.Кривая рассматривается как образ линии в заданном преобра­ зовании плоскости (аффинном, проективном, центральном нелиней­ ном и др.) [16]. Например, в квадратичном преобразовании плоскости образом прямой линии является кривая второго порядка [8, 16]; обра­ зом окружности в родстве является эллипс [37].

8.Кривая линия представляет собой график некоторой функции, которая может быть задана аналитически, то есть уравнением. На­ пример, к кривым, которые первоначально определялись уравнения­

5.1.5.Общие свойства плоских алгебраических кривых

Множеству уравнений, связывающих две переменные координа­ ты в декартовой системе координат, соответствует множество пло­ ских кривых. В зависимости от вида уравнения (алгебраическое или трансцендентное), записанного в декартовой системе координат, кри­ вые подразделяются на алгебраические и трансцендентные. В п. 1.6 было приведено общее уравнение кривой m—vo порядка. В теории плоских алгебраических кривых [16, 29] известны теоремы, опреде­ ляющие общие свойства этих кривых. Приведем основные из них.

1. Порядок алгебраической кривой не зависит от положения этой кривой относительно системы координат. Действительно. Урав­ нения преобразования системы координат, описывающих комбина­

венно старые и новые координаты. Подстановка этих линейных урав­ нений в общее уравнение плоской алгебраической кривой (п. 1.6) не увеличивает и не уменьшает степень этого уравнения.

2. Алгебраическая кривая т-то порядка определяется заданием

m(m + 3)

ее точек. Несложное доказательство этого утверждения представлено в п. 1.6.

3. Две неприводимые алгебраические кривые порядков от, и т2

пересекаются не более чем в от,-от2 точках. Приводимой считается кривая, левая часть уравнения которой может быть представлена в

кривой представляет собой число точек се пересечения с прямой в плоскости кривой.

4. / -кратная точка алгебраической кривой эквивалентна зада-

нию — ~ — - простых ее точек. Помещая начало декартовой системы

координат в t -кратную точку, мы тем самым превращаем общее уравнение кривой (п. 1.6) т-го порядка в уравнение без последних t строк, поскольку только в этом случае t -кратная точка (х - 0,у = 0) будет превращать t раз уравнение кривой в тождество О е О . Оче-

t-(t + l)

видно, количество коэффициентов в этих t строках равно —- • - - .

Применительно к кривой 3-го порядка можно сделать вывод о том, что определяемая девятью простыми точками, она может быть опре­ делена также одной двойной и шестью простыми точками.

рядка. Но поскольку каждая двойная точка первой кривой считается как две точки ее пересечения с другой кривой, то получаем число то-

= т • (т - 2) + ], что противоречит тому, что у кривых порядков т и

(т - 2) число общих точек по теореме 3 равно т-{т-2).

Алгебраические кривые классифицируются не только по их по­

рядку, но и по классу и роду (жанру). Класс алгебраической кривой определяется степенью ее уравнения в тангенциальных координатах.

Пусть линия f(x,у) = 0 пересечена прямой u-x + v-y + \ = 0. Условие

совпадения двух точек ее пересечения с кривой, записанное в виде равенства, связывающего коэффициенты и и V, приводит к уравне­

касания прямой и окружности представляет собой равенство корней

собой тангенциальное уравнение окружности. Геометрически класс плоской кривой определяется числом касательных к кривой линии, проведенных из точки вне кривой. Порядок т и класс к плоской атгебраической кривой в общем случае не совпадают, лишь в случае кривой второго порядка имеет место т = к. Если принять обозначе­ ния: т - порядок кривой, к - класс кривой, d - число двойных то­ чек (узловых и изолированных), г - число точек возврата, t - число двойных касательных (прямых, касающихся кривой в двух точках), w - число точек перегиба, то между этими числовыми характеристика-

134

ми можно установить следующие соотношения, так называемые фор­ мулы Плюккера, полученные им в 1834 году:

к =- т • (т - 1) - 2d - Зг; т = к • (к -1) - 2/ - 3w; w = Зт • (т - 2) - 6d - 8r ; г = Зк • (к - 2) - Ы - 8w.

Род или жанр алгебраической кривой равен числу р, представ­ ляющим собой разность между наибольшим числом двойных точек, которые могут быть у кривой порядка W, и их фактическим числом у данной кривой. Род определяется следующим образом:

Если кривая линия содержит наибольшее число двойных точек, возможных для кривой данного порядка, то она называется рацио­ нальной (кривая нулевого рода). Кривые этого типа обладают сле­ дующим важным свойством: координаты точки, совершающей пере­ мещение по такой кривой, могут быть выражены рациональными функциями некоторого параметра.

Важное теоретическое и практическое значение имеют цирку­

точки: J, (1, /, 0) и J2 (1, - с, 0), где г2 = - 1 . Очевидно, координаты этих точек не зависят от коэффициентов в уравнении окружности. Поэто­ му можно ут верждать, что любая окружность в плоскости пересекает ее несобственную прямую в двух мнимых точках, которые назы­ ваются циклическими. Алгебраические кривые, проходящие через циклические точки, называются циркулярными. К циркулярным

Следовательно, кривая Бурместера является циркулярной кривой. По­ скольку она третьего порядка, то в пересечении с окружностью обра­ зует шесть точек, из которых две точки - циклические, а четыре точки - вещественные. Кривые второго порядка могут быть получены цен­ тральным проецированием окружности на соответствующую каждой кривой плоскость. Центральным проецированием определенного се­ мейства циркулярных кривых m - го порядка на плоскость также можно получить любую кривую т-го порядка. Рациональные цирку­ лярные кривые нашли множественные практические применения. Папример, кривая Бурместера - в теории синтеза плоских механизмов, лемниската Бернулли - в профилировании лопаток турбин, теорети­ ческие профили Жуковского, Чаплыгина в авиастроении и др.

В завершении обзора способов образования плоских кривых от­ метим, что мир этих кривых бесконечно велик [29]. Гак, например, известно более 70 видов алгебраических кривых третьего порядка. Классификация кривых четвертого порядка связана с именем Варинга (1792 г.) и насчитывает 84551 кривых частных видов. Алгебраические кривые более высоких порядков изучены недостаточно и не имеют сколь-нибудь законченной их классификации. Многообразие плоских трансцендентных кривых также велико [29], но оно менее изучено в геометрии, по сравнению с алгебраическими кривыми, ввиду сложно­ сти их геометрической природы. Если исследования метрических свойств (кривизна, квадратура, спрямление) у трансцендентных кри­ вых выполнены достаточно основательно, то, например, проективные свойства этих линий не изучены. Нет достаточно удовлетворительной классификации трансцендентных кривых линий.

5.1.6.Кинематическая геометрия плоских кривых

Рассмотрим подробнее упомянутый ранее кинематический спо­ соб образования плоских кривых. В основу одного из применяемых в начертательной геометрии методов преобразований - метода плоско­ параллельного перемещения, положено предложение о том, что вся­ кое перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного конечного положения в другое конечное положение может быть достигнуто по­ воротом фигуры относительно некоторого центра в этой плоскости. Это предложение имеет место и для бесконечно малого перемещения плоской фигуры в ее плоскости. В этом случае траекторией любой точки плоской фигуры является бесконечно малая дуга окружности и с точностью первого порядка малости бесконечно малое перемещение этой точки может быть заменено перемещением по касательной к бесконечно малой дуге, а перпендикуляр к касательной в этой точке занимает положение нормали. Точка пересечения подобных норма­ лей, каждая их которых определяется траекторией мгновенного пере­ мещения соответствующей точки плоской фигуры при ее мгновенном плоскопараллельном перемещении, является мгновенным центром вращения плоской фигуры. Множество мгновенных центров враще­ ния плоской фигуры в неподвижной декартовой системе координат в плоскости фигуры представляет собой кривую - неподвижную цен­ троиду движения плоской фигуры. Множество мгновенных центров вращения в подвижной системе декартовых координат, неизменно связанной с подвижной плоской фигурой, представляет собой под­ вижную центроиду. Точка, неизменно связанная с фигурой, совер­ шающей непрерывное плоскопараллельное перемещение, описывает некоторую плоскую кривую. Эту кривую можно рассматривать также как образованную той же точкой, неизменно связанной с подвижной центроидой, при качении без скольжения последней по неподвижной центроиде. Кривые описанной кинематической схемы образования называются рулеттами [2, 8].

В свете сказанного рассмотрим в качестве примера кинематиче­ ское образование эволюты плоской кривой (рис. 5.17). В каждой обыкновенной точке А кривой а су­ ществует репер Френе, образованный

единичными векторами касательной t и нормали п. Рассматривая репер как плоскую фигуру, совершающую не­ прерывное плоскопараллельнос пере­ мещение при движении его вершины

Авдоль линии а, на основании вы­

кривой О.. Следовательно, неподвижной центроидой непрерывного плоскопараллельного перемещения репера кривой служит ее эволюта. Очевидно, подвижной центроидой движения репера служит нормаль­ ная прямая п. В таком случае кривая линия а представляет собой траекторию движения точки А, неизменно принадлежащей прямой линии т?, когда, последняя обкатывает кривую е, то есть линия а есть рулетта точки А, принадлежащей подвижной центроиде п, обкаты­ вающей неподвижную центроиду е. Это как раз соответствует ранее изложенному кинематическому образованию эвольвенты а по ее эволюте е.

Рассмотрим образование рулетты. Для получения рулетты необ­

ходимо, как следует из вышесказанного, задать неподвижную цен­

троиду сх, подвижную центроиду с2 и точку М, образующую рулет-

ту. Точка М неизменно связана с подвижной центроидой с2

(рис. 5.18). Центроиду сх представим как дискретный ряд точек

Ах, Вх, Р,СХ,..., которому отвечает по условию равенства длин соот­

ные от точки М до оснований построенных перпендикуляров к нор­ малям центроиды с2. Множество полученных точек принадлежит ру-

летте г. Очевидно, по характеру построения рулетга г принадлежит неподвижной плоскости центроиды с{.

Рассмотрим теперь вопрос определения кривизны рулетты. Пусть