Материал: 1671

точке алгебраической кривой существует / соприкасающихся плос­ костей, но одной для каждой ветви, которые являются проецирующи­ ми плоскостями для центра проецирования, совпадающего с / - кратной точкой. В итоге центральная проекция исходной алгебраиче­ ской кривой с центром проецирования в ее / -кратной точке пред­ ставляет собой на плоскости проекций множество линий, состоящее из криволинейной составляющей и г" прямых пересечения / соприка­ сающихся плоскостей с плоскостью проекций. Поэтому порядок этой криволинейной составляющей равен п ~ i.

3. Жанр (род) алгебраической кривой и ее проекции равны.

Это свойство следует из понятия жанра кривой (число, представ­ ляющее собой разность между наибольшим числом двойных точек, которое может иметь кривая данною порядка, и их фактическим чис­ лом) и взаимно однозначного соответствия, устанавливаемого при линейном проецировании между множествами точек кривой и мно­ жеством точек се проекций. На основании этого свойства жанр кри­ вой линии может быть определен по ее проекции, и проекцией рацио­ нальной кривой, у которой наибольшее число двойных точек равно их фактическому числу, является рациональная кривая.

4. Если каждая проецирующая прямая пересекает алгебраиче­ скую кривую порядка п в /' точках, то проекция этой кривой имеет порядок n:i.

Из свойства 1 следует, что порядок конической поверхности, проходящей через кривую гс-го порядка, равен п. В рассматриваемом случае коническая поверхность порядка п с вершиной в центре про­ ецирования распадается на / совпавших конических поверхностей, каждая из которых имеет порядок п: i. Следовательно, при указанных условиях порядок проекции исходной кривой порядка п будет равен

п: i.

Приведенные свойства 1-4 имеют место в общем случае также для параллельного и ортогонального проецирований.

ГЛАВА 6. ОБРАЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В данной главе будут рассмотрены вопросы образования кривых поверхностей, т.е. поверхностей, не являющихся объединением ко­ нечного числа плоских фигур, к которым относятся всевозможные пирамиды, призмы, призматоиды и другие многогранники. По самому общему определению поверхность есть непрерывное двумерное мно­ жество точек. Это видно хотя бы из аналитического описания поверх­ ности. Если в пространстве выбрать систему координат OXTZ, то по­ верхность может быть представлена в виде следующих уравнений:

- явного z - f(x, у);

-неявного F(x, у, z) = О;

-параметрического х - х(и, v), у = у(и, v ) , z - z(u, v ) .

Исходя из этого, поверхность можно рассматривать как одномер­ ное непрерывное множество линий, неважно, плоских или простран­ ственных. Следует только иметь в виду, что одномерное непрерывное множество плоских линий, расположенное в одной плоскости, по­ верхностью не является. Такое множество линий называется пучком. Е1о между поверхностью и пучком есть непосредственная связь: если параметру пучка придать конструктивный смысл (например, считать его равным расстоянию кривой линии от плоскости пучка), то пучок можно "раздуть" в поверхность. Простейшим примером такой связи можно считать связь между семейством (пучком) концентрических

Следует иметь в виду, что классификации поверхностей, исчер­ пывающей все их виды, не существует. Существуют различные част­ ные классификации классификации по какому-либо одному при­ знаку. Например, широко распространена классификация но виду ли­ ний, образующих поверхность. Линии, образующие поверхность, на­ зывают образующими. В зависимости от вида образующих могут быть получены следующие поверхности:

-линейчатые (образующие - прямые линии);

-циклические (образующие окружности);

-эллиптические, параболические, гиперболические (образующи­ ми являются соответственно эллипсы, параболы, гиперболы);

- общего вида, не имеющие специального названия (образующи­ ми являются плоские или пространственные кривые, в частности ал­ гебраические, порядок которых больше двух).

Поверхность можно представить как траекторию движения обра­ зующей в пространстве по определенному закону. Классификация по­ верхностей по закону движения образующей может быть следующей:

-поверхности вращения (образующая вращается вокруг прямо­ линейной оси);

-поверхности переноса (образующая совершает плоскопарал- лелы-юе движение);

-поверхности конгруэнтных линий (образующая совершает движение общего вида).

Эти и всякие другие классификации объединяет одна общая зави­ симость: если размерность множества линий в пространстве равна к, то размерность множества этих же линий на поверхности (т.е. обра­ зующих) равна единице. Отсюда вытекает нижеследующее правило образования поверхностей.

Для того чтобы образовать поверхность из заданного в простран­ стве множества линий, необходимо:

1) наложить на это множество какие-либо связи, суммарная раз­ мерность которых равна к-);

2) обеспечить условие совместимости (совместности) этих свя­

зей.

Таким образом, для каждой линии, которую предполагается ис­ пользовать в качестве образующей, необходимо иметь перечень все­ возможных связей с рассчитанными заранее значениями размерно­ стей этих связей.

Следуя сформулированному правилу, рассмотрим образование некоторых поверхностей.

6.1.Образование линейчатых поверхностей

Как было описано выше, размерность множества прямых в про­ странстве Е3 равна четырем. Чтобы получить одномерное множество прямых, следует связать три параметра из четырех, т.е. выбрать усло­ вия, суммарная размерность которых будет равна трем.

Для этого рассмотрим все условия, которые могут быть наложе­ ны на прямую, и определим их размерность (табл. 6.1).

182

геометрии. Она называется однополостным гиперболоидом. Порядок

ееравен двум. Поверхность получена трехкратным условием №2.

2.Обобщением однополостного гиперболоида будет поверх­ ность, п о р ч е н н а я при помощи трехкратного условия № 3 . Если н про­

странстве задать три кривые а, Ь, с порядков, соответственно

,к-,, к,, то образованная поверхность будет иметь порядок 2кхк2къ.

3.Использование условия №7 в сочетании с двукратными усло­ виями №2 или №3 порождает поверхности с плоскостью параллелиз­ ма: с №2 и №2 - косую плоскость; с №2 и №3 - коноид; с №3 и №3 - цилиндроид.

4.Одновременное наложение условий №1 и №3 приведет к об­ разованию конических поверхностей, порядок которых будет равен

порядку кривой направляющей поверхности.

Одновременное наложение условий №5 и №3 приводит к образо­ ванию цилиндрических поверхностей.

Использование условий №3 и №8 дает образование прямых ци­ линдрических поверхностей.

5.Если в условии №9 будет выбрана пространственная кривая линия, то образуется торсовая поверхность с ребром возврата.

6.Сочетание условий №2, №3, №6, в которых используется одна

ита же прямая, а кривой линией является винтовая линия, осью кото­ рой является эта же прямая, приводит к образованию прямого закры­ того геликоида.

Заменив в предыдущем предложении условие №2 на условие №10, поверхностью которого является цилиндр с осью - той же пря­ мой, получим прямой открытый геликоид.

Очевидно, что условие №6 может быть заменено условием скре­ щивания с прямой под данным углом. С помощью такого условия мо­ гут быть получены косые геликоиды.

Кроме того, косые геликоиды могут быть образованы сочетанием условия №12 с двукратным условием № 3 . Поверхностью в условии №12 будет прямой круговой конус, а пространственными кривыми - винтовые линии с общей осью - осью конуса.

Рассмотрим все это более подробно.

Условие прохождения прямой через заданную точку в символах исчислительной геометрии можно представить как е\'^.

Условие пересечения прямой с заданной прямой или кривой в символах исчислительной геометрии можно представить как е1^ или

w-ejj , где т -~ порядок алгебраической кривой.

Известна формула размерности инцидентности [5]:

(2п-т)(т + \) £^

2;=о '

Всоответствии с этой формулой условие el'°0 имеет размерность

(2-3 ! ) ( ] . 1 )

6.1.1.Линейчатые поверхности общего вида

Для задания одной из линейчатых поверхностей выберем условия <?!'д и

m-el'j. Эта поверхность является кони­ ческой и ее в трехмерном пространстве можно представить как на рисунке 6.1.

Если т принять равным единице, то получим частный случай конической поверхности - плоскость. Используя методы исчислительной геометрии, можно определить порядок конической поверхности. Так, если направляющая /

имеет порядок т, то порядок конической поверхности будет равен

4:2 •• 4;? • 4:,° = 4:2 • - • (4:2 + 4?) =«• (4:2)2+«• 4:2 •е\1 = т'е\,

+ т - 0 - те\1]. При этом квадрат условия е3"" раскладывается на

шквадрат условия е\\ рг

сумму условий ejg +4д» квадрат условия е3'о равен е ^ , а произведе­ ние условий е3'ц -е2'° равно нулю [4]. т при символьном условии е\'% определяет порядок конической поверхности. На чертеже Монжа ко­ ническая поверхность может быть задана с помощью вершины 5 и направляющей /. Задавая горизонтальную и фронтальную проекции

поверхности будет равен двум. Получим однополостный гиперболо­ ид. На чертеже эту поверхность можно задать тройкой попарно скре­ щивающихся прямых (рис. 6.3). Допустим, что заданы попарно скре­ щивающиеся прямые а{ах,а2)\ b(bx,b2) и с ( с | , с 2 ) , которые задают однопараметрическое множество образующих - прямых линий. Если

плоскостью. Тогда прямая KN(K1Nl,K7N2), пересекающая прямую а(ах,а2) в точке М(МиМ2), будет единственной образующей, про­ ходящей через точку N(NltN2) прямой с(с\,с2).

Рассмотрим возможные случаи линейчатых поверхностей с тремя направляющими:

1.Три направляющие - кривые линии;

2.Две направляющие - кривые линии и одна - прямая. Порядок

такой линейчатой поверхности, как было показано выше, равен (2т • п), где т и п порядки криволинейных направляющих.

3.Одна направляющая - кривая линия и две направляющие - взаимно скрещивающиеся прямые. Порядок такой линейчатой по­ верхности равен 2т, где т порядок направляющей кривой линии

4.Все три направляющие - попарно скрещивающиеся прямые

линии.

Рассмотрим линейчатые поверхности, которые образуются, если

вкачестве геометрических условий выбрать условия инцидентности и I гараллельности.

произвольно заданной прямой и его размерность равна единице. Вто­ рое условие выражает пересечение прямых пространства Е3 с произ­ вольно заданной кривой m - го порядка и его размерность также равна единице. Введем условия параллельности: параллельность прямой за­

что степень параллельности будет рав­

параллельности - данное рассмотренное условие, получим, что сум­ марная размерность равна трем, и из четырехпараметрического мно­ гообразия прямых выделяется тогда одноиараметрическое многообра­ зие прямых, которое определяет цилиндрическую поверхность (рис. 6.4). На чертеже эта поверхность может быть задана своим гео­

но построить образующую bl(b\,b2) этой цилиндрической поверхно­ сти. Сформулируем условие принадлежности точки заданной поверх­ ности. Точка принадлежит заданной поверхности, если она принад­ лежит некоторой линии этой поверхности. Зададим, например, гори­ зонтальную проекцию М, некоторой точки М. Необходимо постро­ ить ее фронтальную проекцию при условии, что точка принадлежит поверхности. Через горизонтальную проекцию М, проводим обра­ зующую цилиндрической поверхности, определяем проекцию 1, точ­ ки 1 ее пересечения с направляющей /. Строим фронтальную проек­ цию 12 точки 1 при условии, что она принадлежит направляющей /. Через точку 12 проводим фронтальную проекцию образующей. На фронтальной проекции образующей строим фронтальную проекцию М2 точки М.

Введем новое условие параллельности: параллельность прямой некоторой заданной плоскости. Степень параллельности прямой к и

плоскости также будет равна единице: Рц = —— = h так как прямая,

параллельная плоскости, имеет с ней общую бесконечно-удаленную точку. Размерность этого условия равна единице: 0// = 1-1(3-2-1 + + 1-1) = 1. Исходя из условий инцидентности и параллельности пря­ мой заданной плоскости, можно образовать три вида линейчатых по­ верхностей, суммарная размерность условий которых будет равна трем.

188

6.1.2.Поверхности Катачана

1.Цилиндроид - линейчатая1 поверхность, у которой направ­ ляющими являются две линии, не лежащие в одной плоскости, на­ пример, кривые т-го порядка а(аиа2) и n-го порядка b(bx,b2) и плоскость параллелизма 27(27,), которой будут параллельны все обра­

зующие - прямые линии (рис. 6.5). Выберем на одной из проекций на­ правляющей кривой а(ах,а2)точку С[, и через эту точку проведем горизон­ тальную проекцию т\ образующей т'.

2.Коноид - линейчатая поверхность, у которой направляющими

линиями являются кривая а(ах,а2) порядка т , прямая линия b{bx,b2) и плоскость параллелизма Л(А2), которой будут параллельны все об­ разующие - прямые линии (рис. 6.6). Построим одну из образующих