Материал: 1671

алгоритмов конструктивного определения множества пересечения

же основным критерием практической целесообразности алгоритма является достижение минимальной сложности геометрических форм классов эквивалентности, объединение которых является фактормно­ жеством пространства Е3, и в целом - достижение минимальной сложности всех этапов конструктивной реализации алгоритма.

Впоследующем изложении настоящей главы будут рассмотрены примеры практических реализаций вышеприведенных алгоритмов конструктивного определения множества пересечения.

7.2.Алгоритмы конструктивного определения множества пересечения двух линейных множеств

Вглаве 4 были приведены традиционные решения задач опреде­ ления пересечения прямой и плоскости и двух плоскостей. Рассмот­ рим взаимосвязь приведенных решений и предложенных алгоритмов,

атакже иные решения названных задач, основанные на этих алгорит­ мах.

Рассмотрим вначале за­ дачу о пересечении прямой и плоскости. Проведем ана­ лиз возможных подходов к решению этой задачи с по­ зиций теоретических по­ строений, положенных в основу предложенных алго­ ритмов. Поскольку прямая а и плоскость А (рис. 7.4)

являются линейными мно- рис. 7.4. Пересечение прямой и плоскости жествами, то возможные фактормножества пространства Е3, используемые в алгоритмах 7.3 и

7.4, также должны быть линейными, то есть линейными должны быть как множество классов эквивалентности, гак и сами классы эквива­ лентности.

210

В этой связи фактормножество в алгоритме 7.3, то есть

Еъ = 2''(1) = U с ' . должно быть проецирующей конгруэнцией Кг (1,0),

2

то есть связкой с собственным или несобственным центром. Посколь­ ку решение задачи выполняется на графической модели пространства Еу, представляющей собой чертеж Монжа, то в качестве проеци­ рующей связки может быть выбрана связка с несобственным центром, прямые которой перпендикулярны плоскости проекций Я, или 77,. На рисунке 4.1 приведен пример конструктивного определения точки пересечения прямой с и плоскости (alib), в котором используется связка, проецирующая относительно 772. При этом роль проецирую­ щей поверхности \Jal в алгоритме (рис. 7.2) играет проецирующая плоскость (cC\d), где с - исходная прямая, d - ее образ на исходной плоскости (alib) в отображении, выполняемом проецирующей связ­ кой.

кости 77, относительно оси х до совмещения с плоскостью П2. В этом преобразовании полю точек 77, соответствует поле точек 772. Если этими двумя проецирующими связками отображается на плос­ кости 77, и Т12 некоторое двухпараметрическое множество точек про­ странства Е2 — линейное (плоскость) или нелинейное (поверхность), то возникает преобразование совмещенной плоскости Я, = П2, ли­ нейное — в случае задания плоскости и нелинейное — в случае задания поверхности. Линейное преобразование - родство, является моделью

2X1

плоскости пространства и может быть использовано для решения рас­ сматриваемой задачи. Пример этого решения приведен на рисунке 4.8. Оба отмеченных решения, первое из которых - прямо, а второе - косвенно, связаны с алгоритмом 7.3.

Рассмотрим использование алгоритма 7.4 для решения задачи оп­ ределения точки пересечения прямой а и плоскости А (рис. 7.5). В

2

ритме 7.4. Последовательность решения рассматриваемой задачи в соответствии с алгоритмом 7.4 и с учетом принятых обозначений мо­ жет иметь нижеследующий вид.

3.Определяется образ искомой точки пересечения: А'- а'Г\А'.

4.Определяется прообраз - искомая точка: Л'—> А е а. Рассмотрим примеры реализации этого алгоритма на графической модели пространства Щ. Пусть на модели заданы: прямая а, плос­ кость A(SBCD) (рис. 7.6). Требуется определить точку пересечения оГ]А. Для решения задачи назначим в качестве прямой I с: А сторону

Рассмотрим решение еще одной задачи, в условии которой зада­ ны плоскость A(ff)h), прямая а и требуется также определить точку пересечения аГ]А (рис. 7.7). Для решения задачи выберем отображе­ ние пространства Еъ на плоскость П = П2 при помощи проецирую­

приведенных решения (рис. 7.6 и 7.7) соответствуют известному в на­ чертательной геометрии способу вспомогательною проецирования [21].

Рис. 7.6. Пример определения пересечения прямой и плоскости

Рассмотрим еще одно решение рассматриваемой задачи, отли- ,ч чающееся от предыдущих выбором проецирующей связки. Для опре-

деления точки пересечения аГ\А выберем в качестве проецирующей связку (а), определяемую самой прямой а, и плоскость отображения П (рис. 7.8). Алгоритм решения задачи в этом случае может иметь нижеследующий вид.

1. Определяется образ dczTI прямой а в отображении, выпол­ няемом связкой (а).

2. Задается точка В е А и строится ее образ В'. Пара точек А' и В' определяют образ Ь' некоторой вспомогательной прямой bczA,

4.Две точки М = Ь'Г\А' и В в А определяют прообраз - вспо­ могательную прямую Ь .

5.Определяется искомая точка пересечения А = ЬГ]а.

Рис. 7.7. Пример определения пересечения прямой и плоскости

На рисунке 7.9 в соответствии с этим алгоритмом приведено ре­

сти отображения принята плоскость П = /72. Последовательность по­ строений в этом решении может иметь нижеследующий вид.

/2 = Ат — фронтальный след плоскости А .

5.Пара точек М и В определяют прообраз - вспомогательную

возникает задача о пересечении двух плоскостей. Ранее в п. 4.2 было приведено ее решение (рис. 4.6), основанное на задании двух прямых в одной плоскости и определении точек пересечения этих прямых с другой плоскостью. Это решение, выполненное на графической моде­ ли пространства по существу соответствует двукратному приме­ нению алгоритма 7.3, позволяющему определить точку пересечения прямой и плоскости.

Как было показано в п. 4.2, задание на графической модели про­

чи построения линии пересечения этих плоскостей к решению задачи

Рис.7.8. Интерпретация алгоритма 7.4

определения общей прямой двух родственных преобразований. Такой подход реализован на рисунке 4.8.

Анализ вышерассмотренных решений задач на пересечение пока­ зывает, что существуют варианты решений одной и той же задачи, среди которых есть более простые (рис. 4.1) и более сложные (рис. 7.6) в конструктивной реализации варианты. Многообразие ва­ риантов следует из тех теоретико-множественных построений, кото­ рые были положены в основу предложенных алгоритмов конструк­ тивного определения множества пересечения. Эти алгоритмы не ис­ черпывают возможности теоретико-множественного подхода в этом направлении его применения. Рассмотренные решения задач, осно­ ванные на применении отображения, указывают на возможность по­ строения алгоритмов с использованием преобразования, как частного случая отображения, например, родства (см. гл. 4).

Рис. 7.9. Пример определения пересечения прямой и плоскости

7.3. Алгоритмы конструктивного определения множества пересечения двух множеств, одно из которых

двумерно и нелинейно

Указанному в заголовке названию соответствуют решения задач определения линии пересечения плоскости и поверхности, а также

точек пересечения линии (прямой или кривой) и поверхности. Сле­ дующими после плоскости наиболее изученными и часто используе­ мыми в практических приложениях следуют поверхности второго по­ рядка (квадрики). Множества невырожденных, то есть нераспавшихся па две плоскости, квадрик включает (рис. 7.10): а) эллипсоиды (об­ щий - трехосный и вращения - сжатый или вытянутый при вращении эллипса относительно малой или большой его оси соответственно); б) параболоиды эллиптический и вращения; в) параболоид гиперболиче­ ский; г) одноиолостные гиперболоиды эллиптический и вращения; д) двухполостные гиперболоиды эллиптический и вращения; е) прямые конусы эллиптический и вращения и наклонные конусы эллиптиче­ ский и круговой (в качестве направляющей линии конуса может быть взята любая нераспавшаяся кривая второго порядка); ж) прямые ци­ линдры эллиптический и вращения и наклонные цилиндры эллипти­ ческий и круговой (направляющей линией цилиндра также может быть любая нераспавшаяся кривая второго порядка). Квадрики на ри­ сунке 7.10 (в, г, е, ж) - линейчатые поверхности.

Рис. 7.10. Поверхности второго порядка

Рассмотрим возможные алгоритмы конструктивного определения линии пересечении квадрики и плоскости, а также точек пересечения линии, в частности прямой, с квадрикой. В соответствии с принятыми в п.п. 7.1 и 7.2 теоретико-множественным подходом к определения

множества пересечения в пространстве е3, необходимо это простран­

ство представить в виде проецирующего фактормножества Е~ = Ф2<1> = [}<рх. Как было отмечено ранее, основным критерием вы-

2

бора фактормножества Ф2(1) ={J<px является минимальная сложность

2

геометрической формы класса <рх эквивалентности (проецирующего

класса) и минимальная сложность самого множества [}<р1 этих клас-

2

сов. В рассматриваемой задаче о пересечении с участием квадрики на выбор фактормножества пространства /5, будет, несомненно, влиять геометрия конкретной квадрики, которая определяет аффинные, мет­ рические и проективные свойства этой поверхности. В современной начертательной геометрии известны результаты исследований ука­ занных свойств квадрик. Множество этих результатов включает тео­ ремы и предложения, которые характерны для всех перечисленных невырожденных квадрик и достаточно полно раскрывает их свойства [13, 32]. Приведем эти свойства, поскольку они потребуются для раз­ работки последующих алгоритмов.

1.Пучок плоскостей, проходящий через ось квадрики, рассекает

еепо семейству кривых второго порядка, родственных между собой.

2.Два произвольных эллиптических сечения квадрики всегда перспективны.

3.Параллельные между собой плоскости могут пересекать квад­ рику по подобным и подобно расположенным эллипсам.

4.Любое коническое сечение квадрики и окружность, или лю­ бые два конических сечения квадрики, могут быть приведены в пер­ спективное соответствие с помощью конической поверхности второго порядка двумя различными способами.

5.Любые сечения конуса второго порядка плоскостями, не про­ ходящими через вершину, перспективны с центром перспективности

ввершине конуса.

6.Стереографическая проекция из омбилической точки квадри­ ки ее произвольного плоского сечения на соответствующую этой точ­ ке плоскость круговых сечений есть окружность.

Рассмотрим вначале примеры определения линии пересечения квадрики и плоскости. Пусть на графической модели пространства заданы фронтальное и горизонтальное изображения отсека эллипти­ ческого однополостного гиперболоида Г и след Р2 плоскости Р А.П2

218

(рис. 7.11). Требуется построить линию пересечения РГ\Г. Для ре­ шения задачи воспользуемся свойством 3 квадрики. Пучок плос-

П72 '

Рис. 7.11. Пример определения пересечения квадрики и плоскости

костей, параллельных плоскости Р, рассекает поверхность Г по по­ добным и подобно расположенным эллипсам с центрами на прямой _/'(/)) / 2 ) . По эллипсу в плоскости Р определяем направление s(si,s2) проецирующей связки с несобственным центром, принимаемой в ка­ честве фактормножества == Ф2(1>, и выбираем в качестве плоскости отображения плоскость П = Л, . Направление J определяется сле­ дующим образом: в горловой эллипс l(lx,l2) поверхности Г вписыва­ ется окружность n'(n\,n'2), диаметр SD(S,D,,/i2D2) которой равен длине малой оси этого эллипса; линия п2ПР2 отсекает на фронталь­ ном очерке поверхности Г точки В'2 и D'2; B\D\ есть фронтальное

219