Материал: 1671

{AX,BX,CX,DX} - четыре точки 1-го поля, {A2,B2,C2,D2} - четыре точки 2-го поля.

Проективные отношения между этими множествами следующие:

(1,АХ,ВХ,СХ,..УМ1,А2,В2,С2,...), (1,Ax,Bx,Dx,^..)A(1,A2,B2,D2,...),

0(1, а,Ь,...)л (Мх ,АХ,ВХ,...), Мх =А1В1[)1, 0(1,а,с,...) л (Nx, Ах,С,,...), Nx = АхС,Г]/, 0(1,Ь, с,...) A (Lx, Вх, С,,...), Lx =ВХ С,П/.

С \

е

Рис. 2.3. Модель 3-плоскости ABCD

Произвольно задаются: луч Ое и точка Ех. Па прямой / найдется такая точка 0\, для которой четверка лучей ОхАх, 0\ВХ, 0\СХ, 0\ЕХ и четверка лучей Оа, Ob, Ос, Ое будут образовывать одно и то же сложное отношение Я. На прямой / найдется и такая точка 0\, для которой четверка лучей 0\АХ, 0\ВХ, 0\DX, 0\ЕХ и четверка лучей Оа, Ob, Od, Ое будут образовывать одно и то же, но другое, сложное отношение Я. По сложным отношениям Я и Л на прямой / находятся точки Oi и Oi, и, соответственно, лучи ОгЕ2, ОгЕ2, пересечение ко­ торых есть точка Е2. Следует заметить, что этот общий алгоритм не

единственный. Могут быть и другие способы построения модели точ­ ки Е(е,Ех,Е2).

Из всего сказанного можно сделать важные выводы:

1) если моделируемое пространство обладает линейной структу­ рой (пересечение любых линейных подпространств есть линейное подпространство, и линейное расширение любых линейных подпро­ странств есть линейное подпространство), то модель этого простран­ ства тоже обладает линейной структурой (все соотношения между элементами модели перспективные и проективные, т.е. линейные);

2) если размерность моделируемого пространства больше раз­ мерности пространства модели, то в пространстве модели должны существовать исключенные элементы (точки, прямые, плоскости, . . . ) .

Дадим важные для дальнейшего изложения определения струк­

нейной. В противном случае структура пространства нелинейная. Например, все точечные линейные пространства обладают ли­

нейной структурой. Любое подпространство таких пространств ана­ литически описывается системой линейных уравнений.

Если в качестве основного элемента пространства выбрана пря­ мая, то такое пространство будет обладать нелинейной структурой.

3.Структурой модели «-мерного пространства на плоскости называется упорядоченный набор ({/„},\ух\,.-,{у„.х},8), где {/-} - множества, элементами которых являются плоские фигуры у у, S - множество бинарных отношений, ^с{/,}х {у.).

4.Если {ftHKi'-'fi,"} и е с л и Yij*Yi,k> J*k' то структура

модели называется линейной.

Рассмотрим модель четырехмерного пространства, основным элементом которого является точка. Пространство будет линейным, что подтверждается системой аксиом принадлежности. Докажем, что модель

линейна и структура пространства изоморфна структуре модели. Дей­ ствительно. Выполняются следующие условия:

1. Две плоскости пересекаются в точке ABCC\DEF = G. Тогда на модели получим

(А1,В1,С],1],...)л(А2,В2,С2,12,...),

ные соответствия имеют' одну инвариантную точку, которой и будет

повторить рассуждения предыдущего пункта.

2.3. Простейшие аксиоматические модели пространства

Очевидно, что все модели линейной структуры различны по сложности их графической реализации. Также очевидно, что про- с гейшей моделью будет та, у которой проективные соотношения за­ менены перспективными. То, что при этом увеличивается число эле­ ментов модели, не сказывается на сложности модели. Поэтому про­ стейшей моделью «-мерного пространства на двумерной плоскости будет: исключенная точка О, множество прямых, проходящих через

Ои несущих (п-1) точек.

Рассмотрим простейшие графические модели трехмерного проек­ тивного пространства R.. Основным объектом пространства Я, выби­ раем точку. В качестве ее образа выберем пару точек на прямой пучка прямых с собственной вершиной. Проверим выполнение условия ра­ венства размерностей исходного пространства и его модели. В соответствии с формулой Грассмана (1.1) размерность множества

жащих прямым линиям пучка, на основании формулы размерности многообразия т - плоскостей [5]:

Е(2е,°) = 2[1 --- 0 - ( 0 + 1)] = 2. Таким образом Q = 1 + 2 = 3 и условие

равенства размерностей выполнимо.

Рассмотрим выполнение условия соответствия линейности ис­ ходного пространства и его модели. Пространство Р3, как точечное пространство, может быть рассмотрено в качестве грассманова мно­ гообразия. Порядок грассманова многообразия представляет собой

следнего равенства следует также из его геометрического представ­ ления: е2 -е2 ' е 2 "' ТРИ плоскости пространства Р2 пересекаются в од­ ной точке. Коэффициент при е% равен 1, что говорит о линейности пространства Р3. Определим структурную характеристику рассматри­ ваемой модели пространства Р3. Проведем анализ размерности пар точек в пучке прямых. Па прямой линии существует двухпараметрическое множество пар точек. В пучке прямых существует трехпараметрическое множество пар точек. В центре пучка существует 0 пар точек. Таким образом, получаем следующее обобщенное условие ин­ цидентности для множества пар точек пучка прямых: е1 '4"о • Очевидно, это условие инцидентности, имеющее место для пучка прямых, экви­ валентно обобщенному условию инцидентности для связки плоско­ стей пространства Р3. Поскольку пара точек на прямой линии пучка и точка пространства Р3 имеют одно и то же параметрическое число, равное 3, то на основании формулы (2.4) получаем структурную ха­ рактеристику модели пространства Р3:

при этом коэффициент в последнем символическом выражении равен единице, то есть рассматриваемая модель также является линейной. Отметим, что полученные структурные условия е\ и е\'\\ являются единичными. Действительно, в соответствии с формулой (1.4) для каждого из них получаем:

54

Рассмотрим на простейшей модели пространства Р3 решения позициотшых задач, например, задач на принадлежность. На рассматри­ ваемой модели (рис. 2.4) заданы пересекающиеся в точке М(М1,М2)

приведено решение задачи определения точки пересечения прямой

соответствующий алгоритм построений. Точка М(МХ,М2) является решением задачи.

Выберем в качестве моделируемого аффинное трехмерное про­ странство. Из выбора следует, что возможная графическая модель пространства должна быть определена как относительно позицион­ ных, так и относительно аффинных задач, то есть задач на параллель­

С,

ность. В таком случае на модели должна быть указана несобственная прямая, точки которой будут соответствовать несобственным точкам -v

55

трехмерного аффинного пространства. На рисунке 2.6 приведено ре­ шение двух задач - позиционной и аффинной.

образу несобственной плоскости аффинного пространства.

Частным отучаем рассматриваемой графической модели является модель трехмерного евклидова пространства, в котором выполняются решения задач трех типов: позиционных, аффинных и метрических. На рисунке 2.7 представлены задачи трех типов.

Прямые а(ах,а2) и b(bx,b2) пересекаются в точкеК(КХ,К2). Пря­ мые с(сх,с2) и Ъ параллельны. Прямые а и b в пространстве обра­ зуют прямой угол с вершиной в точке К .

линейность. Для этого представим модель частного вида с исключен­

Символически это можно записать в виде условий:

Умножив это условие на единичное п кратное условие, получим линейное условие нулевой размерности. Единичных «-кратных усло­

Рис. 2.8. Модель точки пространства^

Если наложить одно линейное условие, т.е. условие принадлеж­

ности точки гиперплоскости, то получим (рис. 2.8, б): ). • ( 4 ) 2 • (4h или е2>°0(е2\ - (е°2)2 • (е1°)3.

При наложении двух условий, т.е. условий принадлежности двум гиперплоскостям, получим (рис. 2.8, в): е\^(е2)[-(е2)2-(е<]))3 или

^ о ( ^ ) . Mh М)ъ и™ е\1(ей2\ .(е°2)2 -{е°0)3.

И так далее.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ, ПЛОСКОСТИ И ГИПЕРПЛОСКОСТИ НА ПРОСТЕЙШЕЙ ГРАФИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Вышерассмотренная простейшая графическая модель «—мерного евклидова пространства, полученная аксиоматическим путем, по су­ ществу представляет собой обобщение известной в начертательной геометрии модели Г. Монжа, которая была получена им конструктив­ ным путем. В проективной схеме метода двух изображений модель Монжа рассматривается как его частный случай [6, 16J.

3.1.Моделирование точки

появляется возможность задания на рассматриваемой графической

тим, что в соответствии с конструктивным методом основным объек­

стям проекции (рис. 3.2). Если мысленно убрать основной объект - точку А и линии проецирования ААХ, АА2 и повернуть горизонталь-

58

ную плоскость проекции я, относительно оси X до совмещения с