Материал: 1671

соответственно в е Я , ; С е /72; D <= /73 (рис. 3.4). В случае равенства нулю двух координат точки получаем ее принадлежность оси проек­

чертежом, содержащим все шесть проекций, т.к. половина из них

ченной конструктивным путем, следует, что некоторые аксиоматиче­ ские модели абстрактного пространства могут быть реализованы на основе конструктивной взаимосвязи между пространством прообра­ зов и его моделью.

Из рассмотрения взаимного по­ ложения пары точек относительно плоскостей проекций следует, что па­ ра точек может принадлежать одной проецирующей прямой, или одной проецирующей плоскости и тогда на одной из плоскостей проекций при­ сутствуют совпавшие одноименные проекции этих точек. Такие точки на­ зываются конкурирующими. Напри­ мер, точки А и В принадлежат про­ ецирующей Z -плоскости, перпенди­ кулярной плоскости /7,, а точки С , D

принадлежат проецирующей прямой, перпендикулярной гиперпло­ скости X х Z х Т (рис. 3.7).

Кроме основных проекций, полученных проецированием на ос­ новные плоскости проекций //,, //2, /73, точка может иметь допол­ нительные проекции, полученные ортогональным проецированием на плоскости, отличающиеся от основных. Дополнительная плоскость проекций образует с одной из основных плоскостей проекций либо с

Из метрических свойств последовательной замены плоскостей ортогональных проекций вытекает алгоритм построения дополни­ тельных проекций точки А:

(А2,А1) -> АА(А7АХ = АХХАА),(АХ,АА) -> A5(ASAXX = АХ2А}),...

сиоматическом аналоге, прямая линия моделируется in -1) прямыми ((п -1) ортогональными проекциями прямой).

В зависимости от расположения прямой линии пространства от­ носительно плоскостей проекций различают прямые общего и частно­ го положений.

3.2А. Прямая общего положения

Если в системе ортогональных плоскостей проекций прямая ли­ ния не параллельна ни одной гиперплоскости, натянутой на оси про­ екций, то она называется прямой общего положения относительно этой системы плоскостей проекций. Па рисунке 3.9 приведена модель

такой прямой в системе X п2,п: з . Исходя из конструктивного пред­

Я ,

ставления моделей точки и прямой линии пространства на рассмат риваемой его графической модели, можно сформулировать критерий принадлежности точки прямой линии: точка принадлежит прямой ли­ нии в пространстве, если модель точки принадлежит модели прямой, или в терминах чертежа Монжа - если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой. Так точка А/принадлежит прямой

АВ, поскольку м{ е АХВ,, М2 е А2В2, Мъ е А3В3.

3.2.2.Прямые уровня

Если прямая параллельна одной из гиперплоскостей проекций, то она называется прямой уровня относительно этой гиперплоскости. На рисунке 3.10 для пространства ЕГ изображены:

1. Горизонтальная пря­ мая уровня h (горизонтать h II Я,), при ЭТОМ lij IIX .

основании известного в школьном курсе стереометрии определения

3.2.3.Проецирующие прямые

Рхли прямая перпендикулярна гиперплоскости проекций, то она называется проецирующей относительно этой плоскости.

1.Горизонтально-проецирующая ^

г, - точка.

3.2.4.Прямые уровня пространства Е4

На рисунке 3.12 изображены прямые, параллельные гиперпло­ скостям XxYxZ,XxYхТ и XxZxT.

Рис. 3.12. Модели прямых уровня относительно гиперплоскостей проекций пространства Е.

На рисунке 3.13 изображены прямые, параллельные плоскостям

XxY, XxZ, ХхТ.

Ез

А? в2

Е?

х- П?,Пз с?

I

с,

Рис. 3.13. Модели прямых уровня относительно плоскостей проекций пространства Е4

3.2.5.Проецирующие прямые пространства Е4

На рисунке 3.14 изображены прямые, перпендикулярные гиперп

Рис. 3.14. Модели проецирующих прямых пространства Е4

3.3. Моделирование взаимного расположения прямых линий в пространстве

В общем случае две прямые в пространстве Еп не пересекаются, так как в соответствии с формулой размерности пространства пересе­ чения s = m + q-n, выведенной в разделе 1.7.2, получаем j = 1 +1 - и < 0, и > 3. Но две прямые в плоскости могут пересекаться как в собственной, так и в несобственной точке, поскольку s = l + l - 2 = 0. Таким образом, в пространстве две прямые линии мо­ гут быть пересекающимися, параллельными и скрещивающимися. Рассмотрим модели этих прямых.

3.3.1.Пересекающиеся прямые

На рисунке 3.15 представлены изображения на графической мо­ дели пространства £, пересекающихся прямых. Прямые а и Ъ пере­

ризонтальноконкурирующими, потому, что любая пара их точек на горизонтально-проецирующей прямой является горизонтальноконкурирующими.

3.3.2.Параллельные прямые

Две прямые линии в пространстве Е3 могут быть параллельными, так как в соответствии с формулой (1.5) степень их параллельности

на рисунке 3.16. Так как а211Ъ2 и а,//Ъх, то прямые а и Ъ в простран­ стве параллельны, при этом моделью несобственной точки пересече-

щим образом: если одноименные проекции прямых общего положе­ ния параллельны, то и сами прямые в пространстве параллельны. Не­ трудно проверить, что прямые АВ и CD не параллельны, несмотря на то, что А2В2IIC2D2 и АХВХIICXDX. Для проверки паратлельности необ­ ходима дополнительная проекция этой пары прямых.

3.3.3.Скрещивающиеся прямые

Прямые, образующие в пространстве между собой ненулевое кратчайшее расстояние и угол, не равный 0" и 180°, называются скре­ щивающимися. Следовательно, это прямые, которые не являются пе­ ресекающимися и параллельными. Изображение скрещивающихся прямых на модели пространства представлено на рисунке 3.17. Пока­

жем, что а2 и Ьх,Ьг ~ это модели (проекции) двух прямых а и Ъ, скре­ щивающихся в пространстве. Предпо­ ложим, что м2 - a2f]b2 есть фронталь­ ная проекция точки М - af]b . Тогда на основании свойства проекций пересе­ кающихся прямых горизонтальной про­ екцией должна быть точка М, = а, Г) Ъх • Но а,П&] - Nх Ф Мх • Следовательно, М, Ф axf]bx и поэтому М Ф af]b . Ана­ логично доказывается, что Л' Ф а Г) Ъ .

67

Таким образом, прямые, заданные на графической модели, не являют­ ся пересекающимися и не являются параллельными, то есть они скрещиваются. Проекции скрещивающиеся прямых характеризуются наличием проекций двух пар конкурирующих точек 1(1,, 12), 2(2,, 2 2) И 3(3,, 3 2 ), 4(4,, 4 , ) .

3.3.4.Дополнительные проекции прямой

нии метрических свойств прямой линии уровня (п. 3.2.2), /шина от­

есть является проецирующей. Из логики геометрических построений на рисунке 3.13 можно сделать следующие выводы:

1. Построениям первой дополнительной проекции А4В4 соответ­ ствуют преобразования прямой линии из общего положения в поло­ жение линии уровня, причем преобразованиям подвергается система

основных плоскостей проекций Х~2 , преобразующаяся в систему

68

Xt положение же прямой линии АВ в пространстве остается не­

изменным. Выполненные построения соответствуют решению метри­

ческой задачи на определение длины отрезка прямой линии.

2. Построениям второй дополнительной проекции (-)А5 - (•)#, соответствуют преобразования прямой линии из общего положения в

ецирующее возможно только посредством выполнения промежуточ­ ного этапа преобразования этой прямой в положение линии уровня.

3.3.5.Дополнительные проекции прямой линии пространства Е„

Пусть на графической модели пространства ЕА задана прямая общего положения (рис. 3.19) АВ{АхВи А2В2. Л3В3) •

Вычислить длину отрезка АВ в пространстве £4 аналитически не представляет труда:

Рис. 3.19. Модель дополнительных проекций прямой пространства Et

69