Материал: 1671

На чертеже вводятся новые гиперплоскости проекций, парал­ лельные отрезку АВ. На рисунке 3.19 такой гиперплоскостью являет­ ся OxXxZT , при этом 01Х1II АХВХ. Отрезки А4В4 и А5В5 являются мо­ делью отрезка АВ в пространстве Е3 с системой координат OxXxZT . Далее поступаем аналогично предыдущему пункту, т.е. выбираем плоскости проекций параллельно какой-либо проекции отрезка - проекции А4В4 или А5В5. На рисунке 3.19, а) выбрана плоскость 02Х2Т, параллельная отрезку АВ: ОгХ2 IIА5В5.

Для большей наглядности на рисунке 3.19, б) показаны эти же процедуры, но предварительно выполнен поворот плоскости проек­ ций oxXxZ на 180° вокруг оси ОхХх. После этого аналогия с черте­ жом пространства Е3 очевидна.

Приведем еще несколько частных случаев расположения отрезка АВ относительно плоскостей и гиперплоскостей проекций. На рисун­

можно предложить в виде упражнения.

3.4.Моделирование плоскости

На рассматриваемой графической модели точка М пространства Е3 моделируется парой точек м, я М2 на прямой пучка с несобст-

венным центром. Следовательно, всему множеству точек пространст­ ва соответствует в плоскости модели два совмещенных поля точек - поле точек "Мх" и поле точек "М2"• Установление некоторого соот­ ветствия между полями точек "Л/," и " М 2 " приводит к моделирова­ нию этим соответствием определенных множеств точек пространства Е3: плоскостей, поверхностей.

В соответствии с аксиомой стереометрии, через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость. Следовательно, задание моделей указанных трех точек означает зада­ ние модели плоскости пространства. Нетрудно подсчитать парамет­ рическое число этой модели. В соответствии с формулой (1.1) для плоскости трехмерного евклидова пространства получаем:

D™ = ( 3 - 2 ) - ( 2 + 1) = 3.

Пусть на графической модели заданы три пары соответственных точек А1,А2; ВХ,В2; С , , С 2 (рис. 3.21). Эти пары определяют модель конкретной плоскости пространства. Пар соответственных точек на каждой прямой пучка с несобственным центром - однопараметриче­ ское множество. На трех фиксированных прямых пучка АхА->, ВХВ2, С , С 2 получаем трехпараметрическос множество пар соответственных точек. Таким образом, параметрическое число модели плоскости про-

родства, а направление параллельных прямых АХА2, ВХВ2, СХС2 - на­ правлением родства. Исходя из параметрического числа модели плос­ кости-родства, следует, что оно может быть задано осью s родства и нарой соответственных точек, например, АХ,А2. Родство сохраняет принадлежность, например, Г), е dx <-> D2 «= d2 и простое отношение

ставляет собой линию пересечения моделируемой плоскости про­ странства и биссекторной плоскости четных четвертей, образуемых плоскостями проекций #, и я 2 . Исходя из параметрического числа родства, равного трем, оно может быть задано (кроме рассмотренных выше заданий тремя парами соответственных точек, а также осью родства и парой соответственных точек): двумя парами соответствен­ ных прямых; парой соответственных точек и парой соответственных прямых. Способам задания родства на графической модели простран­ ства соответствуют известные способы задания плоскости в про­ странстве (кроме отмеченного способа задания тремя точками): точ­ кой и прямой, двумя пересекающимися прямыми, двумя параллель­ ными прямыми. Для удобства решения различных позиционных, аф­ финных и метрических задач на графической модели часто применя­ ется задание плоскости треугольником, вытекающим из основного способа задания плоскости тройкой точек, не принадлежащих одной прямой.

3.4.1. Плоскость общего положения

В методе Монжа существует понятие плоскости общего и част­ ного положений. Если плоскость не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций я , и и2,то она называется плоскостью общего положения относительно этой системы плоскостей проекций. Крите­ рий задания плоскости на чертеже Монжа может быть сформулиро­ ван следующим образом: плоскость считается заданной на чертеже, если модель плоскости на нем позволяет определить принадлежность любой точки пространства этой плоскости. Для конструктивного оп­ ределения принадлежности точки к плоскости применяется следую­ щее условие: точка принадлежит плоскости, если она принадлежит линии этой плоскости. Из построений на рисунке 3.22 следует, что точка М принадлежит плоскости (alib), заданной параллельными

72

прямыми а и Ь, поскольку принадлежит линии АВ этой плоскости, а точка N не принадлежит плоскости. На рисунке 3.23 приведено по­ строение модели точки В пространства, принадлежащей плоскости, заданной осью родства <?. и парой соответственных точек Л,, А7. Мо­ дель точки В построена по условию задания точки В2 - одной из двух точек, моделирующих точку В (искомой является точка в,).

3.4.2.Плоскости уровня

Если плоскость пространства параллельна плоскости проекций, то она называется плоскостью уровня относительно этой плоскости проекций. На рисунке 3.24 изображены горизонтальная L//77, и фронтальная д// II2 плоскости уровня, при этом t2llX и Ах!/Х, Z2 и д, - соответственно фронтальный след плоскости £ и горизонталь­ ный след плоскости Д.

3.4.3.Проецирующие плоскости

Если плоскость пространства перпендикулярна плоскости проек­ ций, то она называется проецирующей относительно этой плоскости

ПI •

3.4.4.Прямые уровня в плоскости

В любой плоскости Ф пространства существует двухиараметрическое множество прямых линий. На основании формулы (1.5) прямая и плоскость в этом пространстве вполне параллельны, по­ скольку степень параллельности для них

равна: рц = —-— = 1. Укажем в простран­ стве еще одну плоскость ЧУ такую, что Ф

иY не параллельны. Тогда в плоскости

Фможно выделить единственный пучок прямых с несобственным центром, па­ раллельных линий пересечения Ф п Ч ' и, следовательно, параллельных плоскости

ЧУ. Если в качестве плоскости ЧУ рас­ сматривается некоторая плоскость про­ екций, причем Ф и ЧУ не параллельны, то прямые указанного пучка представляют

собой прямые уровня относительно этой плоскости проекций. По­ скольку линия уровня обладает метрическими свойствами (п. 3.2.2), то принадлежность линии уровня некоторой плоскости пространства может быть использована для решения множества метрических задач,

относящихся к этой плоскости. На рисунке 3.26 приведены построе­ ния двух линий уровня / ( / , , / 2 ) / / Я 2 и h(hx,h2)H Я , , принадлежащих плоскости Ф(АЛВС).

3.4.5.Дополнительные проекции плоскости

^П\

системе плоскостей проекций Хх—. Введение второй дополнитель-

П4

ной плоскости проекций п4 по условиям Л„ // Ф, /7 4 _1_ Я , , приводит к образованию системы плоскостей проекций, в которой исходная плоскость Ф является плоскостью уровня относительно я 4. Из логи­ ки выполнения построений, приведенных на рисунке 3.27, следуют выводы:

1. Построениям первой дополнительной проекции Ф 4 заданной плоскости Ф(ААВС) соответствуют преобразования плоскости из общего положения в проецирующее. Преобразованиям подвергается

система основных плоскостей проекций ^ ^ ~ > преобразующаяся в

систему Л] - • - , положение же плоскости Ф остается неизменным.

ПА

2. Построениям второй дополнительной проекции (дл5Я5С3) соответствуют преобразования плоскости Ф из общего положения в положение плоскости уровня. При этом имеют место преобразования

ном положении исходной плоскости Ф. Этим преобразованиям соот­ ветствует решение задачи определения действительного изображения плоской фигуры, расположенной в плоскости общего положения. Ре­ зультатом решения этой задачи в рассматриваемом случае является

AA,BSCS = А ABC .

3. Преобразования плоскости из общего положения в положение плоскости уровня возможно только при условии выполнения проме­ жуточного этапа - преобразования этой плоскости в проецирующее положение.

3.5.Моделирование плоскости пространства Еп

Всоответствии с аксиомами принадлежности плоскость задается тремя точками вне зависимости от размерности пространства. Для ее задания требуется 3 ( « - 2 ) параметров. На рисунке 3.28 приведена модель плоскости ABC пространства £ 4 . Общее число параметров, подсчитанное по модели, равно 12, но одна из проекций, например, AxBxCt, допускает изменение положений точек Ах, Вх, Сх в двух на­ правлениях. 11ри этом сама плоскость ABC не меняет своего положе­ ния в пространстве £ 4 . Поэтому остается 12 - 6 = 6 независимых па­ раметров. Проекции АХВХСХ и А2В2С2 связаны родством с осью sX2, и проекции А2В2С2 и АЪВ3С2 - родством с осью .?23. Направление род­ ства - одно для обоих соответствий. Прямые si2 и s,3 есть прямые пе­ ресечения данной плоскости ABC с биссекторной гиперплоскостью,

76

-плоскости, параллельные гиперплоскости проекций;

-плоскости, параллельные плоскости проекций. Рассмотрим их модели для пространства Е4.

На рисунке 3.29 изображена плоскость ABC, параллельная плос-

\ZT

кости проекций OXY . Ее уравнение есть z-const, t = const, если считать, что проекции точек с индексом 3 имеют координаты (х, t), а проекции с индексом 2 - координаты (x,z) (см. рис. 3.1).

о

На рисунке 3.32 изображена плоскость ABC, перпендикулярная плоскости ОХТ . Точнее сказать, что ЛВС принадлежит гиперплоско­ сти, перпендикулярной плоскости ОХТ . М е ABC , N г ABC .

На рисунке 3.33 плоскость ABC расположена в гиперплоскости, параллельной гиперплоскости OXYZ , перпендикулярно плоскости проекций OXZ .

3.5.1. Прямые уровня в плоскости пространства £4

В плоскости общего положения пространства Е4 можно выбрать прямые уровня относительно гиперплоскостей проекций. Например, на рисунке 3.34. изображена плоскость ABC общего положения, в ко­ торой выбраны три прямые уровня: h II OXYZ , / // OXYT , q II OXZT . Естественно, что названия горизонтали и фронтали для этого случая неприменимы.

Выбрать в плоскости общего положения прямые уровня относи­

Если же окажется, что и /г, // ОХ , то ABC 1 OYZT . И так дапее.