Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		41
Определение.	Графиком функции	называется множество точек на плоскости
с координатами	, где	. Обозначение: .

Графический способ используется, например, при изображении данных с какогонибудь прибора на экране монитора.

График функции, как правило, представляет собой некоторую кривую; но есть такие функции, графики которых устроены столь сложно, что изобразить их невозможно. Ниже нам встретятся такие примеры.

Следует заметить, что не любая кривая на плоскости может быть графиком какойнибудь функции . Дело в том, что на графике не может быть различных точек с одной и той же абсциссой, так как каждому значению соответствует единственное значение . Визуально это означает, что любая вертикальная прямая должна пересекать кривую не более чем в одной точке.

Например, ниже на рисунке ) кривая может быть графиком, а на рисунке б) - не может быть графиком никакой функции вида .

) график	б) не график
Если график функции известен, то область определения и область значений
можно найти путем проектирования графика	на оси координат (см. рис. выше).

3). Аналитический способ. Это основной способ задания функции в математическом анализе. Функция задается с помощью формул, связывающих зависимую и независимую переменные.

При аналитическом способе функция может быть задана:

) явно:

; б) неявно:

; в) параметрически:

Неявное и параметрическое задание функций рассматриваются в разделе

Дифференциальное и интегральное исчисление функций		математического анализа.
Здесь мы ограничимся функциями, заданными явно:		.
При явном задании функция может быть определена одной формулой, а может
быть и разными формулами на разных участках области определения.
Например:

	,	.

Кроме табличного, графического и аналитического способов задания функций есть также и другие способы, например: алгоритмический, с помощью словесного описания и т.д.

Примеры функций.

Вэлементарной математике подробно изучаются известные функции:

-постоянная,

-		линейная,
-		квадратичная,
-	,	дробно-линейная, и многие другие.
-	,	дробно-линейная, и многие другие.

Рассмотрим некоторые примеры других функций.

1). Целая часть числа:		.
Если	, где	, то	. График функции (стрелки на графике

указывают на точки, не принадлежащие графику) представляет собой ступенчатую фигуру:

1 2

Область определения:		; область значений:	.
2). Дробная часть числа:	.
Здесь	. Если	, где , то	. Заметим, что
.	График функции (стрелки на графике указывают на точки, не
принадлежащие графику):

		1	2	3
	Область определения:	; область значений:			.
3).	(«сигнум»	знак числа	), где		.
График функции:

Область определения:

; область значений:

4).	. График функции:

Область определения:	; область значений:		.
5). Функция Дирихле:	, где	,	множество всех

рациональных чисел.

Функция Дирихле принимает значение 1 во всех рациональных точках и значение 0 во всех иррациональных точках. Изобразить график этой функции не представляется возможным. Область определения: ; область значений: .

§5. Основные характеристики функции.

1). Четность, нечетность.
Пусть функция	имеет область определения , симметричную
относительно точки , т.е. если	, то и	.
Определение. Функция	называется четной, если		;

Функция	называется нечетной, если			.
Примеры четных функций:
	;	;	функция Дирихле.
Примеры нечетных функций:
	;	;	функция «знак числа» .
График четной функции симметричен относительно оси				; график нечетной
функции симметричен относительно начала координат:

) график четной функции.

б) график нечетной функции.

Если функция не является четной и не является нечетной, то она называется функцией общего вида.

2). Монотонность.

Пусть		некоторое подмножество области определения функции							:	.
	Определение. Функция				называется возрастающей на множестве , если
	,	из неравенства		следует неравенство					и называется
строго возрастающей на множестве					, если		,	из неравенства
следует неравенство				.
	Обозначение:		(или строго		) на .
	Определение. Функция				называется убывающей на множестве					, если
,		из неравенства		следует неравенство					и называется
строго убывающей на множестве , если						,		из неравенства		следует
неравенство			.
	Обозначение:		(или строго		) на .
	Определение. Функция				называется монотонной (строго монотонной)
на множестве , если она является возрастающей (строго возрастающей) или
убывающей (строго убывающей) на множестве .
	Пример. Функция			. Область определения:						;

область значений:					.	График функции:

Пусть

; тогда

;

следовательно:

строго на

Пусть

; тогда

;

следовательно:

строго

на

Таким образом,

функция

строго

на

и строго

на

Замечание. Неверно утверждать, что функция

строго

на

Действительно, пусть

; тогда

, но

, т.е.

Исследуем на монотонность функции, приведенные в примерах §4.

1). Целая часть числа:

. Из графика функции видно, что

(не строго) на .

2). Дробная часть числа:

. Из графика видно, что

строго

на каждом

промежутке вида

, где

Однако нельзя утверждать, что

на (см.

последнее замечание).

3).

Из графика этой функции видно, что

(не строго) на .

4).

. Из графика этой функции видно, что

строго

на

, строго

на

и строго

на

5). Функция Дирихле:

, где

множество всех рациональных чисел.

Эта функция не является монотонной ни на каком промежутке.

Замечание. Если функция строго монотонна на множестве

, то она и (просто) монотонна

на этом множестве. Обратное утверждение, конечно, неверно. Поэтому не будет

ошибкой, если строго монотонную функцию назвать просто монотонной.

3). Ограниченность.

Пусть

некоторое подмножество области определения функции

Определение. Функция

называется ограниченной сверху на множестве ,

если ограничено сверху множество

, т. е.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)