Материал: Введение в мат.анализ
51
3.2) |
|
, |
нечетное, |
|
|
|
. |
Графики функций: |
||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
: |
, |
|
|
|
|
; нечетная; строго на ; не ограничена; не |
||||||||
периодическая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Графики функций: |
|||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
: |
четное |
, |
|
; общего вида; строго |
на ; |
|
ограничена снизу; не периодическая. |
|
|
|
|
|
||
нечетное |
|
, |
; нечетная; строго |
на |
и строго |
на |
|
; не ограничена; не периодическая. |
|
|
|
|
|||
4) |
иррациональное число: |
|
. |
|
|
|
|
4.1) |
, |
. Графики функций: |
|
|
|
|
|
Свойства |
: |
, |
; общего вида; строго на ; ограничена |
снизу; не периодическая. |
|
||
4.2) |
, |
. Графики функций: |
|
52
Свойства |
: |
, |
; общего вида; строго на ; ограничена |
снизу; не периодическая. |
|
|
|
Замечание. Частным случаем степенной функции является тождественная функция
. Обозначение тождественной функции: . Таким образом:
.
3. Показательная функция: |
, |
|
|
|
фиксированное число: |
|
. |
|
|
Для любой показательной функции |
выполняется равенство: |
. |
||
График показательной функции: |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства |
: |
, |
|
; общего вида; ограничена снизу; не |
|||
периодическая; если |
, то |
|
строго |
на ; если |
, то |
строго на . |
|
4. Логарифмическая функция: |
|
, |
|
|
|
||
фиксированное число: |
|
|
. |
|
|
||
Для любой логарифмической функции |
выполняется равенство: |
. |
|||||
График логарифмической функции: |
|
|
|
|
|||
Логарифмическая функция является обратной к показательной функции:
53
.
График логарифмической функции можно получить из графика показательной функции симметричным отражением относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Свойства |
: |
, |
; общего вида; не ограничена; не периодическая; |
||||
если |
, то |
строго на |
; если |
, то |
строго |
на . |
|
5. Тригонометрические функции: |
|
, |
, |
, |
. |
||
1) функции: |
, |
. |
Графики этих функций: |
|
|||
Свойства |
: |
, |
|
|
; нечетная; ограничена; периодическая с |
|
||||||
; |
строго |
на |
|
|
|
|
, |
; строго на |
|
|
, |
. |
|
|
|
|
|||||||||
Свойства |
: |
, |
|
|
; четная; ограничена; периодическая с |
; |
||||||
строго |
на |
|
|
|
, ; строго |
на |
, . |
|
||||
2) функции: |
, |
|
|
. Графики этих функций: |
|
|
||||||
54
Свойства |
: |
|
|
|
|
|
|
, |
|
; нечетная; не ограничена; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
периодическая с |
; строго на |
|
|
|
|
|
, |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Свойства |
: |
|
, |
|
|
; нечетная; не ограничена; периодическая |
||||||||||||||
с |
; строго |
на |
, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. Обратные тригонометрические функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Функция |
|
строго монотонна |
на промежутке |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно, сужение функции на этот промежуток |
имеет обратную функцию |
|||||||||||||||||||
|
, которая называется |
арксинус |
. Обозначение: |
или |
. |
|
|
|||||||||||||
|
Функция |
|
строго монотонна |
на промежутке |
. |
|
||||||||||||||
Следовательно, сужение функции на этот промежуток |
имеет обратную функцию |
|||||||||||||||||||
|
, которая называется |
арккосинус . |
Обозначение: |
или |
. |
|||||||||||||||
|
Функция |
|
строго монотонна |
на промежутке |
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Следовательно, сужение функции на этот промежуток |
имеет обратную функцию |
|||||||||||||||||||
|
, которая называется |
арктангенс . |
Обозначение: |
или |
. |
|
|
|||||||||||||
|
Функция |
|
строго монотонна |
на промежутке |
. |
|
||||||||||||||
Следовательно, сужение функции на этот промежуток |
имеет обратную функцию |
|||||||||||||||||||
|
, которая называется |
арккотангенс |
. Обозначение: |
или |
. |
|||||||||||||||
|
Таким образом, определены обратные тригонометрические функции: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Графики этих функций получаются из графиков тригонометрических функций симметричным отражением относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
1) : 2) :
55
Свойства |
: |
, |
|
|
|
; общего вида; ограничена; не |
|
|
|||||
периодическая; |
строго |
на . |
|
|
|
|
Свойства |
: |
, |
|
|
; общего вида; ограничена; не |
|
периодическая; |
строго |
на . |
|
|
|
|
3) |
: |
|
|
|
|
|
Свойства |
: |
, |
|
|
|
; общего вида; ограничена; не |
|
|
|||||
периодическая; |
строго |
на . |
|
|
|
|
4) |
: |
|
|
|
|
|
Свойства |
: |
, |
; общего вида; ограничена; не |
периодическая; строго |
|
на . |
|