Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

А. П. ПОТАПОВ

Введение в математический анализ

Теория, задачи и упражнения

	Учебное пособие
	Оглавление
I. Теория.
Глава 1.	Основные понятия	…	2
Глава 2.	Последовательности и функции	…	32
Глава 3.	Предел последовательности	…	60
Глава 4.	Предел функции	…	90
Глава 5.	Непрерывность функции	…	125
Глава 6.	Комплексные числа	…	141
Глава 7.	Алгебраические многочлены и рациональные дроби	…	177
II. Задачи и упражнения.
Задачи к главе 1		… 190
Задачи к главе 2		… 191
Задачи к главе 3		… 195
Задачи к главе 4		…	197
Задачи к главе 5		…	200
Задачи к главе 6		…	202
Задачи к главе 7		…	206
Ответы		…	208
Литература		…	222

I. Теория.

Глава 1. Основные понятия.

Содержание

§ 1.	Понятие множества ……………………………………………………………..	3
§ 2.	Логическая символика ………………………………………………………..	5
§ 3.	Натуральные числа ……………………………………………………………..	7
§ 4. Целые числа ………………………………………………………………………….		9
§ 5.	Рациональные числа ……………………………………………………………	11
§ 6.	Действительные числа …………………………………………………………	12

§7. Модуль числа ………………………………………………………………………. 14

§8. Числовая ось. Числовые промежутки …………………………………. 16

§9. Простейшие уравнения и неравенства с модулем …………….. 18

§ 10. Границы числовых множеств ………………………………………………	20
§ 11. Элементы комбинаторики ……………………………………………………	23
§ 12. Бином Ньютона …………………………………………………………………...	28

§ 1. Понятие множества.

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность, семейство, класс, набор и т.п. некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Например: множество целых чисел, множество точек на окружности, множество студентов института, множество файлов в данной папке и т.д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества

обозначают обычно заглавными буквами		а их элементы - малыми буквами
Если	элемент множества то пишут:	( принадлежит ); запись

означает, что элемент не принадлежит . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом .

Если элементами множества являются числа, то множество называется числовым множеством. Основные числовые множества:

множество всех натуральных чисел, множество всех целых чисел, множество всех рациональных чисел, множество всех действительных чисел, множество всех комплексных чисел.

Элементы множества обычно записывают в фигурных скобках, внутри которых они

перечислены:		, или указано общее свойство, которым обладают все
элементы данного множества, например:			множество всех
действительных чисел		, удовлетворяющих неравенствам	.
Множество	называется подмножеством множества		, если каждый элемент
множества является элементом множества , при этом записывают:
( включено в ). Пустое множество является подмножеством любого другого
множества (	, где	любое множество).

Для основных числовых множеств справедливы следующие включения:

Множества и	называются равными и пишут:	, если	и	.
Множество	, состоящее из конечного числа элементов,

называется конечным множеством. Пустое множество также считается конечным множеством. Всякое множество, не являющееся конечным, называется бесконечным множеством. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Любое подмножество числового множества, отличное от пустого множества, также является числовым множеством. Например, промежуток [-1; 3) или набор чисел

являются числовыми множествами.

Всякое бесконечное множество является либо счетным, либо несчетным. Бесконечное множество называется счетным, если можно установить взаимно-

однозначное соответствие между этим множеством и множеством всех натуральных

чисел . Другими словами, бесконечное множество называется счетным, если все его

элементы можно пронумеровать:	.
Примерами счетных множеств являются само множество всех натуральных чисел
, а также множество всех целых чисел	и даже множество всех рациональных чисел
(см. [6]).

Бесконечное множество называется несчетным, если оно не является счетным. Примерами несчетных множеств являются множество всех действительных чисел , множество всех точек отрезка прямой и др. (см. [6]). Эти множества называются множествами мощности континуум.

Действия над множествами.

Объединением (или суммой) множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств или .

Объединение (сумму) множеств обозначают	(или	):
или	.

Пересечением (или произведением) множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из этих множеств и . Пересечение (произведение) множеств обозначают (или ):

и.

Разностью множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов множества , которые не принадлежат множеству . Разность множеств и обозначают :

и.

Пример 1.	Пусть	,	.	Тогда
		,	,	,	.
Пример 2.	Пусть		,	.	Тогда
		,		,
		,		.

§ 2. Логическая символика.

При записи математических предложений (определений, утверждений и т.п.)

удобно использовать символы из математической логики:
	символ импликации;				символ эквивалентности;
символ отрицания;				символ конъюнкции;			символ дизъюнкции;
		квантор всеобщности;				квантор существования.
Пусть	и	некоторые математические высказывания или утверждения,
относительно каждого из которых можно сказать истинно (верно) оно или ложно
(неверно). Из этих утверждений можно составить новые утверждения:
-		означает:	из	следует		, т.е. если истинно утверждение , то
истинно и утверждение .
-		означает:		эквивалентно		, т.е. если истинно утверждение , то
истинно и утверждение и наоборот, если истинно утверждение							, то истинно и
утверждение .
-	означает:		не	, т.е. если истинно утверждение			, то ложно
утверждение	, а если утверждение				ложно, то утверждение		истинно.

-означает: , это утверждение истинно, если оба утверждения

истинны.

-означает: , это утверждение истинно, если истинно хотя бы

одно из утверждений				.
-			означает:		для любого элемента		из множества справедливо
утверждение		.
-			означает:		существует элемент		из множества	, для которого
справедливо утверждение				.
Примеры математических утверждений.
1). Даны действительные числа					.
Утверждение		:	числа		длины сторон некоторого треугольника ,
утверждение		:		.	Тогда
2). Даны натуральные числа				и .
Утверждение		:		четное ,
утверждение		:	и	четные .		Тогда	.
3). Дана квадратная матрица .
Утверждение		:		невырожденная матрица			,
утверждение		:	Существует обратная матница				. Тогда	.
4). Пусть	окружность на плоскости с центром в точке С и радиуса .
Тогда справедливо утверждение:							.
5). Пусть и	ненулевые коллинеарные векторы.
Тогда справедливо утверждение:							.

Рассмотрим примеры утверждений, которые являются отрицаниями других утверждений:

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)