Материал: Введение в мат.анализ

6

-

.

Это означает: утверждение

не для всех

выполняется

равносильно

утверждению есть

, для которого не выполняется

.

-

.

Это означает: утверждение

не существует

, для которого выполняется

равносильно утверждению для всех

не выполняется

.

Например:

- не все целые числа делятся на

равносильно утверждению

есть целые числа,

которые не делятся на

;

- не все квадратные матрицы имеют обратную матрицу

равносильно утверждению

коэффициентом равносильно утверждению

есть прямые на плоскости, которые не

задаются линейным уравнением с угловым коэффициентом ;

- не существует вектора, модуль которого отрицателен равносильно утверждению

модули всех векторов неотрицательны ;

- не существует угла, синус которого больше 1

равносильно утверждению синусы всех

углов не превосходят 1 .

Если теорема записывается в виде:

(если , то

), то

условие

теоремы, а

заключение теоремы. В этом случае утверждение

называется

обратной теоремой, а утверждение

называется прямой теоремой.

Если верна теорема

, то

называется достаточным условием для , а

необходимым условием для . Если верны и прямая и обратная теоремы, то

называется необходимым и достаточным условием для

(и наоборот). Фразу

является необходимым и достаточным условием для

можно заменить другой фразой:

выполняется тогда и только тогда, когда выполняется

или

выполняется в том и

только в том случае, если выполняется .

обозначения: " знак суммирования;

" знак произведения.

По определению:

;

.

.

Например:

Запись вида:

называется каноническим

разложением натурального числа . Здесь

– простые числа, – натуральные числа

(

).

Согласно основной теореме арифметики каноническое разложение

единственно

(с точностью до порядка сомножителей).

Аксиома индукции.

Пусть

подмножество множества всех натуральных чисел:

и пусть оно

обладает следующими 2-я свойствами:

) 1

б

справедливо утверждение:

.

Тогда:

.

На аксиоме индукции основан один из методов доказательства в математике -

метод математической индукции.

Метод математической индукции.

Рассмотрим некоторое утверждение

, зависящее от натурального числа .

8

Обозначим через

множество всех тех значений

, для которых справедливо

утверждение

. Проверим выполнение условий ) и б

аксиомы индукции, а именно:

) при

утверждение истинно;

б если утверждение

верно при

то оно верно и при

.

Если выполнение условий

) и б) доказано, то

, т.е. утверждение

истинно при

любых

.

Условие ) называется базой индукции, а условие б

индукционным переходом.

В некоторых случаях базой индукции служит условие: ) утверждение истинно при

,

(

или и т д

. В этих случаях будет доказана истинность утверждения для всех

натуральных чисел

.

Пример 1.

Докажем, что для всех

выполняется равенство:

) при

имеем:

верное равенство;

б пусть равенство верно при

, т.е.

;

докажем, что

равенство верно и для

, т.е.

.

Для этого запишем:

+

, что и

.

требовалось доказать. Следовательно, равенство верно для всех

Пример 2.

Докажем, что для всех

выполняется равенство:

) при

имеем:

верное равенство;

б пусть равенство верно при

, т.е.

;

докажем, что равенство верно и для

, т.е.

. Для этого запишем:

+

, что и требовалось доказать.

Следовательно, равенство верно для всех

.

Пример 3.

Докажем неравенство Бернулли:

для всех

, где

.

) при

имеем:

верное неравенство;

б пусть неравенство верно при

, т.е.

;

докажем, что

неравенство верно и для

, т.е.

. Для этого

запишем:

, что и требовалось доказать. Следовательно, неравенство

верно для всех

.

Замечание.

Если

, то неравенство Бернулли будет строгим неравенством для всех

.

Для натуральных чисел можно ввести понятия факториала и двойного

факториала, которые обозначаются соответственно знаками

" и ".

По определению факториала:

произведение всех натуральных чисел от 1 до .

Например:

;

;

;

;

.

По определению двойного факториала:

произведение всех натуральных чисел, взятых

через одного, от

и ниже.

Например:

;

.

целое число.

Если целое число делится на целое число

, то будем писать

, в

противном случае будем писать:

. Например:

Заметим, что

для всех

для всех

,

Числа: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 – называются цифрами.

Любое целое число

можно записать с помощью этих десяти цифр:

.

Запись вида

называется десятичной записью числа , где

– натуральное число,

(

) – цифры (однозначные числа): – цифра единиц,

– цифра десяток,

– цифра сотен и т.д. Если

, то число

двузначное, если

, то число

трехзначное и т.д.

Например:

положительное трехзначное число (

),

– отрицательное четырехзначное число

(

).

По десятичной записи числа можно определить делимость этого числа на любое

однозначное число (кроме делимости на 7), а также на число .

10

Признаки делимости.

Пусть

десятичная запись числа. Тогда:

2

;

;

;

5

;

6

8;

9

;

10

Пример.

2, т.к.

, т к

, т.к. 64 4;

6, т.к.

2

3;

5,

т к 4

5;

и

8 , т.к. 164

;

9, т к

10

т к

Если

,

то возможно деление с остатком.

Теорема. Для любого целого числа

и любого натурального числа

существуют

целые числа и

такие, что:

где

– остаток от деления

на

и

–

(При

получаем:

).

Например, остаток от деления

на

равен

, т.к.

, а остаток от

деления

на равен , т.к.

.

Из этой теоремы при

получаем следующее утверждение.

Следствие. Любое целое число

можно представить в виде:

(т.е. любое целое число либо делится на , либо при делении на дает остаток

).

Числа вида

называются четными, числа вида

называются нечетными.

Понятие факториала:

для отрицательных целых

чисел

не вводится, а для числа

это понятие применяется. По определению:

.

Используя понятия четности и нечетности, можно уточнить понятие двойного

факториала.

Двойной факториал:

произведение всех

натуральных чисел, не превосходящих

и одной с ним четности.

Если

четное:

, то двойной факториал есть произведение всех четных чисел от

2 до

; если

нечетное:

, то это есть произведение всех нечетных чисел от

1 до

. Например:

;

.