Материал: Введение в мат.анализ

множеством всех действительных чисел и множеством точек числовой оси.

Поэтому

в дальнейшем понятия точка на числовой оси и действительное число не

будут

что геометрический смысл модуля числа

это расстояние от точки до точки 0.

Расстояние между произвольными точками и

на числовой оси равно:

|

| |

|.

Например, расстояние между точками

равно:

|

или:

–

.

набор действительных чисел:

. Примерами бесконечных числовых

множеств являются множества

,

, . Другими примерами бесконечных числовых

множеств служат числовые промежутки (ограниченные и неограниченные).

Ограниченные числовые промежутки (ниже везде

):

– открытый промежуток

(интервал)

– замкнутый промежуток

(отрезок):

– полуоткрытый промежуток:

– полуоткрытый промежуток:

17

Длина

ограниченного числового промежутка любого из вышеуказанных видов

равна расстоянию между концами этого промежутка:

.

Неограниченные числовые промежутки:

– открытая

-

полуось:

– замкнутая

-

полуось:

– открытая

+

полуось:

– замкнутая

полуось:

+

– вся числовая ось:

-

+

– объединение множеств

;

– пересечение множеств

;

– разность множеств

;

– разность множеств

.

Пример. Найти

Решение.

Изобразим множества

на числовой оси:

Определение. Окрестностью точки

называется любой интервал

,

содержащий точку :

. Обозначение:

.

Таким образом:

, где

произвольные числа и

.

:

Проколотая окрестность точки

это окрестность точки без самой точки:

.

:

-окрестность точки

где

это окрестность вида:

.

:

Проколотая -окрестность точки

где

это -окрестность точки

без

самой точки:

.

:

Целая и дробная части числа.

Целая часть действительного числа

это наибольшее целое число, не

превосходящее ; обозначение:

. Например:

.

Дробной частью действительного числа

называется разность между числом

и

целой частью этого числа и обозначается

:

. Например:

Простейшее уравнение с модулем:

Здесь

– заданное число, а – неизвестное (искомое) число.

Геометрический смысл этого уравнения заключается в том, чтобы найти на

числовой оси точки, удаленные от начала отсчета на расстояние

единиц.

Если

то уравнение не имеет решений (т.к.

):

.

Если

, то уравнение имеет единственное решение:

Если

, то уравнение имеет два решения:

оси точки, удаленные от точки

на расстояние меньше, чем единиц. Это неравенство

сводится к простейшему неравенству путем введения новой переменной

. В

результате получим:

если

то

;

если

, то

Аналогично можно исследовать неравенства вида:

,

,

.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение.

.

Ответ.

.

Пусть

непустое числовое множество:

,

.

Определения.

Множество

называется ограниченным сверху, если существует такое число

,

что для всех

выполняется неравенство:

.

ограничено сверху

При этом число

называется верхней границей множества .

Множество

называется ограниченным снизу, если существует такое число

, что

для всех

выполняется неравенство:

.

ограничено снизу

При этом число

называется нижней границей множества .

Множество

называется ограниченным, если оно ограничено сверху и ограничено

снизу, т.е. существуют такие числа

, что для всех

выполняются неравенства:

.

ограничено

При этом числа

называются соответственно нижней и верхней границами

множества .

Замечание 1.

Если число

является верхней границей множества и

, то число

также будет верхней границей множества .

Следовательно, ограниченное сверху

множество имеет бесконечное множество верхних границ.