Материал: Введение в мат.анализ

Эта формула вытекает из

принципа умножения . Действительно, 1-й элемент

подмножества можно выбрать

способами. Второй элемент подмножества можно

выбрать

способами, т.к. в качестве 2-го элемента можно взять любой элемент,

кроме уже выбранного 1-го. Третий элемент можно выбрать

способами, т.к. в

способом, т.к. осталось

элементов у исходного множества. Далее

применяем принцип умножения .

Например, число размещений из 3-х по 2 и из 3-х по 3 равно:

;

.

В задаче 4 ищется число размещений из 20 по 2:

;

а в задаче 6 ищется число размещений из 12 по 3:

.

следования элементов.

Число всех перестановок из элементов обозначается

(

) и

вычисляется по формуле:

Это следует из формулы для числа размещений

при

.

В задаче 3 вычисляется число перестановок из 3-х элементов:

.

Определение. Сочетанием из

элементов по

элементов (

называется

любое его подмножество (неупорядоченное), состоящее из элементов. Сочетания

отличаются друг от друга только составом элементов (порядок следования элементов

здесь не учитывается).

Например, для 3-х элементного множества

имеем

все сочетания по 2 элемента:

,

,

; все сочетания по 3 элемента:

.

Число сочетаний из

элементов по

элементов обозначается

(

)

и вычисляется по формуле:

Например:

3;

.

Вывод формулы. Найдем связь между числом размещений

и числом сочетаний .

Для получения всех размещений из элементов по элементов нужно взять

всевозможные сочетания из элементов по элементов и в каждом сочетании сделать

всевозможные перестановки. Согласно принципу умножения , число всех размещений

равно произведению числа всех сочетаний на число всех перестановок, т.е.

.

Следовательно:

. Формула доказана.

Применяя формулу для

, получим:

190.

В задаче 7 надо было найти число способов выбора 3-х человек из 12-ти.

Применяя формулу для

, получим:

220.

Учитывая, что

, формула для

применима и при

и при

:

1;

1.

Равенство

1 означает, что существует ровно одно подмножество, не

содержащее ни одного элемента (пустое множество).

Равенство

1 означает, что существует ровно одно подмножество,

содержащее

элементов (само множество).

Из формулы для

следует, что при замене числа

на число

значение

числа сочетаний не меняется:

.

Применяя формулу для

при

и при

, получим:

;

.

Таким образом, имеем простейшие свойства чисел

:

1.

1.

2.

.

3.

,

.

Докажем еще одно важное свойство чисел

:

(

).

,

Применяем формулу для вычисления

:

По аналогии с известными формулами (

действительные числа):

выведем формулу для

, где

произвольное натуральное число.

или:

.

.

Вывод формулы.

. Если перемножить скобки, то получим сумму

раз

слагаемых вида

, где

; при этом в каждом слагаемом сумма

показателей степени при

равна . Действительно, когда перемножаем эти скобки,

мы из каждой скобки берем одну из букв

; если в скобках берем , а в

оставшихся

скобках берем , то и получим выражение вида

.

Далее приводим подобные члены. Для этого посчитаем число слагаемых вида

при фиксированном

. Это число равно количеству способов выбора скобок

из скобок, т.е.

. Тем самым формула доказана.

Формулу бинома Ньютона можно доказать и методом математической

индукции см ниже .

Коэффициенты в разложении бинома Ньютона числа

называются еще

биномиальными коэффициентами.

Рассмотрим частные случаи формулы бинома Ньютона при

.

;

.

;

.

;

;

.

;

;

.

29

Чтобы получить формулы при

, надо вычислить коэффициенты

при этих

значениях и

. Чтобы облегчить нахождение этих коэффициентов,

применяют простое правило, позволяющее по значениям

вычислить значения

.

Для этого используется одно из свойств биномиальных коэффициентов:

,

.

Согласно этому свойству, значения коэффициентов

,

,

,

,

можно вычислить, зная все коэффициенты .

Наглядным применением этого правила служит треугольник Паскаля

схема или

Правило построения треугольника Паскаля: крайние

элементы треугольника равны

; каждый

внутренний элемент равен сумме двух вышестоящих,

ближайших к нему (

).

Подставляя числовые значения коэффициентов

, получим треугольник Паскаля:

10

1

20

15

…

… … … … … … … … … … …

Используя треугольник Паскаля, легко составить разложения по формуле бинома

Ньютона при

. Например:

,

,

и т.д.

Формулу бинома Ньютона можно записать в следующем виде (при

:

30

Подставляя в эту формулу

, получим:

.

Если подставить в формулу

, то получим:

.

Таким образом, имеем новые свойства биномиальных коэффициентов :

1.

;

2.

.

это число

-элементных подмножеств -элементного множества. Следовательно,

это

сумма количества -элементных, -элементных и т.д., -элементных

.

Из формулы бинома Ньютона можно получить неравенство Бернулли (см.§3) для

:

.

Неравенство Бернулли:

,

.

) при

,

и

, как показано выше, имеем верные равенства.

б пусть равенство верно при

, т.е.

докажем, что равенство верно и для

, т.е.