Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Если	, то	.
Пусть	, тогда справедлива следующая формула:

( ).

Вывод формулы. Применим метод математической индукции. ) база индукции;

при

имеем:

верное равенство.

б) индукционный переход;

пусть при

имеем верное равенство:

; надо доказать, что

равенство верно и для

, т.е.

Для этого запишем:

. Формула доказана.

Например:

;

§ 3. Простейшие свойства последовательностей.

Рассмотрим свойства последовательностей: монотонность и ограниченность.

Определение. Числовая последовательность называется возрастающей (строго возрастающей), если каждый ее член не меньше (больше) предыдущего, т.е. для

всех натуральных	верно неравенство:	. Обозначение:	.
Определение. Числовая последовательность		называется убывающей
(строго убывающей), если каждый ее член не больше (меньше) предыдущего, т.е.			для
всех натуральных	верно неравенство:	. Обозначение:	.
Определение. Числовая последовательность		называется монотонной

(строго монотонной), если она является возрастающей (строго возрастающей) или

убывающей (строго убывающей).

Примеры:
-	строго , т.к.	;
-	строго , т.к.	;

-	не является монотонной.

Пример. Определить характер монотонности числовой последовательности

Решение. Сравним значения

и :

;

Ответ.

строго .

Замечание. Понятие монотонности сохраняется, если неравенство

или

выполняется для всех натуральных чисел

, начиная только с какого-то номера, т.е.

где

Арифметическая прогрессия является строго возрастающей при

и строго

убывающей при

. Монотонность геометрической прогрессии определяется

следующими условиями:

;

– не монотонна.

;

– не монотонна.

Определение. Числовая последовательность

называется ограниченной сверху,

если

такое, что

выполняется неравенство:

Определение. Числовая последовательность

называется ограниченной снизу,

если

такое, что

выполняется неравенство:

Определение. Числовая последовательность

называется ограниченной, если

такие, что

выполняются неравенства:

Замечание. Определение ограниченной последовательности равносильно следующему

определению:

ограниченная последовательность

Определение. Числовая последовательность

называется неограниченной,

если она не является ограниченной.

Используя отрицание к понятию

ограниченная последовательность

можно дать

следующее определение неограниченной последовательности:

неограниченная последовательность

Примеры:

1).

ограниченная последовательность, т.к.

;

2).

ограниченная последовательность, т.к.

;

3).

ограниченная последовательность, т.к.

;

4).

ограниченная последовательность, т.к.

;

5).

(здесь:

неограниченная

последовательность.

Действительно: согласно аксиоме Архимеда

натуральное число

;

возьмем

; тогда

6).

, (

фиксированное число) неограниченная последовательность.

Действительно:

составим число

; согласно аксиоме Архимеда

натуральное число

;

тогда

7).

, (

фиксированное число)

неограниченная последовательность.

Действительно:

составим число

; согласно аксиоме

Архимеда

натуральное число

; тогда

Последовательность

Рассмотрим последовательность, имеющую важное значение в теории пределов и

заданную общим членом

Исследуем данную последовательность на монотонность и ограниченность.

Исследование на монотонность.

1-й способ. Этот способ основан на применении неравенства Бернулли (глава 1, § 3):

где

; если

, то неравенство

строгое.

Докажем, что

или равносильное неравенство:

. Для этого

запишем сначала цепочку равенств:

Далее применим неравенство Бернулли для

(заметим, что

Продолжаем цепочку равенств и неравенств:

Получили неравенство:

или

. Следовательно, данная

последовательность строго возрастает:

2-й способ. Этот способ основан на применении формулы бинома Ньютона (глава 1, §11):

Подставляя в эту формулу		, получим:

Заметим, что

представляет собой сумму положительных слагаемых, т.к. каждая

скобка имеет вид:

, причем

При переходе от к

количество положительных слагаемых в сумме увеличится

на 1, а в каждом слагаемом скобки

заменятся на скобки

. Так как

, то каждое слагаемое в

также увеличится по сравнению с .

Следовательно,

, т.е. последовательность строго возрастает:

Исследование на ограниченность.

Выше было показано, что последовательность

ограничена снизу:

Покажем, что она ограничена и сверху.

В разложении

по формуле бинома Ньютона все скобки вида

ограничены:

. Поэтому можно сделать оценку:

Полученное неравенство можно усилить, заменив числа 3, 4, 5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

Сумму в скобке вычислим по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

Следовательно:

Таким образом, последовательность

, где

, возрастает и

ограничена:

§ 4. Понятие функции.

Определение. Пусть даны числовых множества и . Функцией из	в
называется закон (правило, соответствие), по которому каждому элементу	из
множества соответствует единственный элемент из множества .

Элемент называется независимой переменной (аргументом), а элемент

называется зависимой переменной (функцией).
Обозначения:	.
Например, числовая последовательность	это функция, заданная на
множестве натуральных чисел:		.
Если множества и не заданы, а указано только правило		, по которому
элементу соответствует элемент , то в этом случае считается, что		. Тогда

функцией называется само правило . При этом возникает задача нахождения области определения и области значений функции.

Определение. Областью определения функции						называется множество всех
значений	, при которых	имеет смысл. Обозначения:				,	или .
Областью значений функции			называется множество всех значений					,	которые
может принимать функция		при		.	Обозначения:	,	или .
Замечание. Из определения функции следует, что одному и тому же значению									не могут
соответствовать различные значения			т.е.	если		и	,	то	.
С другой стороны, различным значениям				может соответствовать одно и то же значение
, т.е. если	и	,	то	и	не обязательно совпадают.

) возможно

б) невозможно

Способы задания функции.

1). Табличный способ. Функция задается с помощью таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции:

…

Например, табличный способ применяется при записи результатов экспериментов, когда никакие формулы заранее неизвестны.

2). Графический способ. Функция задается с помощью графика.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)