Материал: Введение в мат.анализ

46

Функция

называется ограниченной снизу на множестве

, если

ограничено снизу множество

, т. е.

.

Функция

называется ограниченной на множестве

, если она ограничена

и сверху и снизу, т. е.

.

Замечание. Определение ограниченности функции равносильно следующему

определению: функция

ограничена на

.

Определение. Функция

называется неограниченной на множестве

,

если она не является ограниченной на этом множестве.

Используя отрицание к понятию ограниченная функция , можно дать следующее

определение неограниченной функции:

функция

не ограничена на

.

Пример.

Функция

ограничена

на промежутках вида:

,

,

и

, где

или

;

и на промежутках вида:

,

,

,

, где

и

.

Функция

не ограничена

на промежутках вида:

,

, где

;

,

, где

и на

множествах вида

, где

.

Примеры ограниченных функций на .

Функции

и

ограничены на

, т.к.

и

.

Функции

,

функция Дирихле,

также ограничены на .

Примеры ограниченных сверху (или снизу) функций на .

,

,

ограничены снизу на

.

Квадратичная функция

ограничена на

сверху при

и

ограничена на

снизу при

.

Примеры неограниченных функций на .

Функции

,

,

,

,

не ограничены на .

4). Периодичность.

Определение. Функция

называется периодической, если

:

и

.

Число называется периодом функции.

Заметим, что если число

является периодом функции, то и число

, где

также будет периодом данной функции. Поэтому далее под периодом

подразумевается наименьший положительный период функции.

47

-

и

,

;

-

и

,

;

-

,

.

Дана функция

с областью определения

и областью значений .

Определение. Функция

называется взаимно-однозначной, если разным

значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е.

.

Если функция

строго монотонна на , то она и взаимно-однозначна.

Равенство:

можно рассматривать как уравнение относительно

неизвестной

при любых фиксированных значениях .

Для взаимно-однозначной функции

это уравнение имеет решение ,

причем оно единственно. Обозначим это решение как

.

Тем самым возникает функция

с областью определения

и областью

значений .

Функция

называется обратной функцией к функции

, а функции

Заметим, что если

обратная функция к функции

, то

обратная функция

к функции

,

т.е.

.

Примеры.

1.

строго монотонная функция;

,

;

;

следовательно:

и

взаимно-обратные функции.

2.

строго монотонная функция;

,

;

;

следовательно:

и

взаимно-обратные функции.

3.

строго монотонная функция;

,

;

;

следовательно:

и

взаимно-обратные функции.

Графики взаимно-обратных функций.

Если

и

взаимно-обратные функции, то их графики

совпадают. Вместо записи

для обратной функции можно применить

обозначение

. Тогда графики функций

и

уже не будут

совпадать. Как расположены друг относительно друга эти графики?

Заметим, что если точка

лежит на одном графике, то точка

лежит на другом графике, и наоборот. Но точки

и

симметричны относительно

прямой

(см. рис.) Следовательно, графики взаимно-обратных функций

и

симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов

(т.е. относительно прямой

).

Если функция

не является строго монотонной на

, то, как правило, можно

выделить из области определения

участки строгой монотонности.

Пусть

и

строго монотонна на множестве

.

Рассмотрим новую

функцию, которую обозначим:

такую, что

. Эта новая функция

отличается от функции

лишь тем, что у нее другая область определения, а именно:

множество .

Функция

называется сужением функции

на множество . Функция

строго монотонна на своей области определения и, значит

взаимно-однозначная

функция. Следовательно, для

существует обратная функция

.

Пример. Функция

не является строго монотонной на всей числовой оси, но

является таковой на промежутках

и

. Рассмотрим сужения функции

на

и на

:

,

,

;

.

Таким образом:

,

,

,

.

Область определения:

,

область значений:

.

2. Степенная функция:

,

где

фиксированное число:

.

Для любой степенной функции

выполняется равенство:

.

1)

натуральное число:

.

1.1)

четное число:

,

. Графики функций:

Свойства

:

,

; четная; строго на

и строго на

;

ограничена снизу; не периодическая.

1.2)

нечетное число:

, . Графики функций: