Материал: Введение в мат.анализ

§ 5. Основные характеристики функции ………………………………………

43

§ 6.

Обратная функция …….………………………………………………………….

47

§ 7. Основные элементарные функции ………………………………………

49

§ 8.

Классы элементарных функций ………..………………………………….

56

33

§ 1. Числовые последовательности.

Определение. Пусть каждому натуральному числу

поставлено в соответствие по

некоторому правилу (закону) действительное число .

Тогда говорят, что задана

последовательность чисел или числовая последовательность

.

Число – первый член последовательности, число

– второй член

последовательности, …, число

– -й член последовательности и т.д.

Числовая последовательность обычно задается формулой ее

- го (общего) члена:

Примеры числовых последовательностей:

-

– последовательность натуральных чисел,

;

-

– последовательность квадратов натуральных чисел,

;

-

– последовательность чисел, обратных к натуральным числам,

;

-

….} – числовая последовательность, в которой на четном месте

стоит

, а на нечетном месте стоит ,

;

-

….} – постоянная последовательность,

( – произвольное число).

Если последовательность задана формулой общего члена

,

то можно

Пример. Последовательность задана рекуррентной формулой:

.

Найти .

Решение.

;

;

.

то для вычисления нужно вычислить все предыдущие значения до

.

Интересным примером числовой последовательности, заданной рекуррентным

соотношением, является последовательность чисел Фибоначчи:

,

;

.

Первые члены этой последовательности:

;

;

;

;

;

и т. д.

Получаем последовательность чисел Фибоначчи:

.

) база индукции;

при

имеем:

верное равенство.

б) индукционный переход;

пусть при

имеем верное равенство:

; надо доказать, что

равенство верно и для

, т.е.

.

Для этого запишем:

, что и

требовалось доказать.

Арифметическая прогрессия полностью определяется заданием ее первого члена

и разности :

{

;

;

;

; ….}.

Примеры арифметическая прогрессий:

-

,

(здесь:

;

-

,

(здесь:

;

-

,

(здесь:

.

Обозначим через

сумму первых

членов арифметической прогрессии:

…

.

Например:

,

,

и т.д.

Докажем формулу:

.

,

Применим метод математической индукции.

) база индукции;

при

имеем:

верное равенство.

б) индукционный переход;

пусть при

имеем верное равенство:

; надо доказать,

что равенство верно и для

, т.е.

.

Определение. Геометрической прогрессией называется такая числовая

последовательность

, для всех членов которой выполняется равенство:

.

Число

называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии получается умножением предыдущего

члена на один и тот же множитель, не зависящий от номера .

Таким образом, геометрическая прогрессия задается рекуррентным

) база индукции;

при

имеем:

верное равенство.

б) индукционный переход;

пусть при

имеем верное равенство:

; надо доказать, что

равенство верно и для

, т.е.

. Для этого запишем:

, что и требовалось доказать.

Геометрическая прогрессия полностью определяется заданием ее первого члена

и знаменателя :

.

Далее предполагается, что

.

Если

, то все члены геометрической прогрессии равны между собой:

.

При

все члены геометрической прогрессии одного знака, а при

знаки

членов геометрической прогрессии чередуются.

Примеры геометрических прогрессий:

-

,

(здесь

);

-

,

;

-

,

(здесь

,

);

-

,

.

Обозначим через

сумму первых

членов геометрической прогрессии:

…

.

Например:

,

,

и т.д.