Материал: Введение в мат.анализ

21

Аналогично, если число

является нижней границей множества и

, то

число

также будет нижней границей множества

. Следовательно, ограниченное

снизу множество имеет бесконечное множество нижних границ.

Замечание 2. Определение ограниченности множества равносильно следующему

определению:

ограничено

.

Понятия

(супремума) и

(инфимума).

Доказательство.

Пусть

ограниченное сверху множество. Обозначим через

множество всех его

верхних границ. Тогда для всех

и

выполнено неравенство:

. По свойству

непрерывности множества действительных чисел существует такое число

, что для всех

и

выполнены неравенства:

.

Так как

, то

верхняя граница множества , т.е.

; так как

, то число является наименьшим числом во множестве

. Теорема доказана.

Определение. Если

ограниченное сверху множество, то наименьшая из всех

супремумом множества и обозначается:

.

Теорема 1 это теорема о существовании супремума у ограниченного сверху

множества. При этом либо

, либо

. Если

, то

,

т.е. в этом случае супремум

совпадает с наибольшим значением множества

. Если

, то

не существует.

Если множество

не ограничено сверху, то пишут

.

Доказательство.

Пусть

ограниченное снизу множество. Обозначим через

множество всех его

нижних границ. Тогда для всех

и

выполнено неравенство:

. По свойству

непрерывности множества действительных чисел существует такое число

, что для всех

и

выполнены неравенства:

.

Так как

, то

нижняя граница множества , т.е.

; так как

, то число

является наибольшим числом во множестве

. Теорема доказана.

Определение. Если

ограниченное снизу множество, то наибольшая из всех его

нижних границ называется точной нижней гранью (точной нижней границей) или

инфимумом множества

и обозначается:

.

Теорема 2 это теорема о существовании инфимума у ограниченного снизу

множества. При этом либо

, либо

. Если

, то

, т.е.

в этом случае инфимум совпадает с наименьшим значением множества

. Если

, то

не существует.

Если множество

не ограничено снизу, то пишут

.

22

Примеры.

1.

.

Здесь:

,

.

2.

. Здесь:

,

,

,

,

,

.

3.

. Здесь:

,

,

,

,

,

.

4.

. Здесь:

,

,

,

,

,

.

5.

. Здесь:

,

,

,

,

.

6.

.

Здесь:

,

,

,

,

,

.

Свойства

-

и

- .

Пусть

,

.

Введем обозначения:

(при этом

возможно:

и (или)

.

Резюмируя все вышесказанное, можно сформулировать следующие свойства.

1.

.

2.

Если

, то

:

;

если

, то

:

.

3.

Если

, то

; если

, то

.

4.

Если

и

, то

.

5.

Если

, то

; если

, то

.

Если

, то

; если

, то

.

Точки сгущения.

Определение. Пусть

,

. Точка

называется точкой сгущения (или

предельной точкой) множества

, если в любой окрестности точки

существует хотя бы

одна точка множества , не совпадающая с .

Очевидно, что в любой окрестности точки сгущения существует бесчисленное

множество точек множества

, не совпадающих с точкой .

Точка сгущения (предельная точка) множества может быть элементом этого

множества, а может и не быть его элементом. Если точка множества не является точкой

сгущения этого множества, то она называется изолированной.

Например, для

имеем:

- изолированная точка;

точками сгущения будут все остальные точки множества

, а также точки

и

,

не входящие во множество .

Объединение множества и множества его точек сгущения называется

замыканием множества и обозначается: . Например, если

,

то

.

Решение. Пусть

юноши;

девушки.

Составим всевозможные пары из представителей этих групп:

…

…

.

Из этой таблицы видно, что общее количество всевозможных пар равно

.

Ответ.

24 пары;

пар.

Задача 2. Из 3-х студенческих групп выбирают по одному представителю. Сколько

различных троек можно составить, если:

в 1-й группе 8, во 2-й 6, а в 3-й 10

человек?

в 1-й группе

, во 2-й

, а в 3-й

человек?

Решение.

Представителя 1-й группы можно выбрать 8-ю способами; для каждого из

получаем

различных выбранных троек.

Представителя 1-й группы можно выбрать способами; для каждого из них

выбираем представителя 2-й группы способами; всего получаем

пар; для каждой

такой пары можно выбрать 3-го представителя способами; всего получаем

различных выбранных троек.

Ответ.

480 троек;

троек.

24

Правило (принцип) умножения. Пусть производится выбор элементов

из некоторого конечного множества. Известно, что элемент

можно выбрать

способами, после его выбора элемент можно выбрать

способами, и т.д., элемент

можно выбрать

способами после выбора всех предыдущих элементов. Тогда общее

число способов

, которыми можно осуществить выбор всех элементов

равно

2-й дни, т.е. имеем 1 способ выбора на 3-й день. Применяя

принцип умножения ,

получим общее число способов:

.

2-й способ. Обозначим преподавателей буквами

. Тогда требуется установить

общее число перестановок в наборе

. Для этого выпишем все перестановки этого

набора:

,

,

,

,

,

. Всего получилось 6

перестановок.

упорядоченных команд равно 380.

В это число входят все пары вида

. Но

в условиях нашей задачи команда

или команда

это одна и та же команда.

Поэтому общее число команд будет в 2 раза меньше:

.

Ответ. 190 способов.

общее число способов выбора по принципу умножения равно

.

Ответ. 1320 способов.

Решение. Если в команде из 3-х человек установить

порядок , т.е. указать, кто из них

первый, кто

второй, а кто

третий, то окажемся в условиях предыдущей задачи. Общее

число таких

упорядоченных

команд равно 1320. В это число входят все тройки вида

, где элементы

могут еще меняться местами. Но в условиях нашей задачи

все такие команды считаются одной командой. Поэтому общее число команд будет

меньше числа упорядоченных команд в раз, где

число перестановок в наборе

:

. Тогда общее число команд равно

.

Ответ. 220 способов.

Разобранные задачи

относятся к задачам следующего типа. Дано конечное

множество элементов

. Требуется найти количество его подмножеств,

количество упорядоченных подмножеств, а в другом

количество

неупорядоченных

подмножеств.

В задачах 6 и 7 дано множество, состоящее из 12-ти элементов, а надо найти

количество 3-хэлементных подмножеств. В задаче 6 также надо найти количество

упорядоченных подмножеств, а в задаче 7 количество неупорядоченных

подмножеств.

Размещения, перестановки, сочетания.

Дано конечное множество элементов

.

Определение. Размещением из элементов по

элементов (

называется любое его упорядоченное подмножество, состоящее из

элементов.

Например, для 3-х элементного множества

имеем

все размещения по 2 элемента:

,

,

,

,

,

;

все размещения по 3 элемента:

,

,

,

,

,

.

Число всех размещений из

элементов по

элементов обозначается

(

) и вычисляется по формуле: