Материал: Введение в мат.анализ

Дана числовая последовательность

.

Определение. Число

называется пределом последовательности

, если для

любого положительного числа

существует такое натуральное число

, что все значения

, у которых номер

, удовлетворяют неравенству:

.

Обозначения:

,

,

,

.

При этом говорят, что последовательность

сходится (стремится) к числу

(при , стремящемся к

). Запишем определение предела в символической форме:

.

Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в

противном случае она называется расходящейся.

Определение предела последовательности можно сформулировать и так:

Число называется пределом последовательности

, если значения

отличаются от числа

сколь угодно мало ,

начиная с некоторого места , т.е. для

всех достаточно больших номеров .

Выражение сколь угодно мало означает, что неравенство:

выполнено для произвольных

, а номер

как раз и указывает то

место, начиная

с которого выполняется это неравенство для всех номеров , б льших .

есто, начиная с которого

выполняется это неравенство, зависит, вообще говоря,

от . Поэтому в записи этого номера указан индекс . При уменьшении числа , как

правило, увеличивается этот номер

: чем большей близости значений

к числу

Пример 1.

. Здесь

, например:

;

;

и т.д.

Видно, что значения

сколь угодно мало отличаются от

числа 0, начиная с некоторого места . Поэтому можно предположить, что

последовательность

стремится к 0. Покажем, что это действительно так:

.

Пусть

;

. Если взять в качестве

натуральное

число, большее или равное числу

, то неравенство

будет выполнено для

всех

.

Таким числом можно взять, например,

целую часть числа

.

Итак, пусть

; тогда имеем: для любого положительного числа

существует

такое натуральное число

, что для всех натуральных

выполнено неравенство:

.

Это и означает, что

.

62

Пример 2.

; например:

;

и т.д. Видно, что значения

, начиная с некоторого места ,

сколь угодно мало

отличаются от числа 0,5. Поэтому можно предположить, что

стремится к 0,5.

Покажем, что это действительно так:

.

Пусть

;

.

Если взять в качестве

натуральное число, большее или равное

, то неравенство

будет

выполнено для всех

. Таким числом можно взять

целую часть числа

.

Итак, пусть

; тогда имеем: для любого положительного числа

существует такое натуральное число , что для всех натуральных

выполнено

неравенство:

.

Это и означает, что

.

Продолжим обсуждение определения предела последовательности.

Неравенство

равносильно следующим условиям:

,

где

-окрестность точки . Поэтому определение предела

можно записать в следующей форме:

.

В этом заключается геометрический смысл предела последовательности:

Число

предел последовательности

, если любая окрестность точки

содержит бесконечное число ее членов, более того: содержит все члены, начиная с

некоторого номера . Вне этой окрестности может оказаться лишь конечное число

членов:

.

Пример 3.

постоянная последовательность,

, где

произвольное число.

В любой - окрестности точки

содержится бесконечное

число членов последовательности, а точнее, все ее члены:

,

.

Поэтому предел постоянной последовательности равен :

.

Пример 4.

последовательность, у которой на

четных местах стоит 1, а на нечетных стоит

.

Эта последовательность бесконечное число раз принимает значение

и бесконечное

число раз принимает значение

. Проверим, может ли предел равняться 1 или .

Рассмотрим произвольную

- окрестность точки 1, но такую, чтобы она не

содержала точку

:

. Эта окрестность хотя и содержит бесконечное число

членов, но не все ее члены, с какого бы места ни начинать, т.к. члены с нечетными

номерами всегда будут лежать вне этой окрестности.

Аналогично можно рассуждать и с

- окрестностью точки

. Следовательно,

ни число 1, ни число

не могут быть пределом данной последовательности.

Проверим, может ли какое-нибудь другое число

быть пределом этой

последовательности. Пусть

; рассмотрим такие

- окрестности

точки ,

которые не содержат ни точки 1, ни точки

:

. Эти окрестности не содержат

ни одного члена последовательности, следовательно, число никак не может быть

пределом.

Таким образом, получили, что

не имеет предела, т.е. последовательность

является расходящейся.

Теорема (о единственности предела).

Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство.

Предположим, что это не так, т.е. существуют по крайней мере 2 различных

предела и

, и пусть, например

. Рассмотрим такие

- окрестности

и

точек

и , которые не пересекаются:

. Это возможно, если

, т.е. при

.

все члены последовательности, начиная с какого-то места. Это означает, что

и

.

Пусть

, тогда

выполняются условия:

и

,

т.е.

. Но это невозможно, т.к.

пустое множество

не

содержит ни одного элемента. Это противоречие показывает, что последовательность не

может иметь более одного предела. Теорема доказана.

Замечание 1.

Пусть

заданная последовательность;

тогда

хвост

(остаток) этой последовательности (

64

Замечание 2. Пусть две сходящиеся последовательности

и

полностью совпадают

или совпадают, начиная с некоторого места:

.

Тогда из единственности предела следует, что обе последовательности сходятся к

одному и тому же пределу:

.

§ 2. Простейшие свойства.

Дана сходящаяся последовательность

,

.

Свойство 1. Если число

такое, что

, то и все значения

, начиная с некоторого

места, будут больше

, т.е.

.

Если число

такое, что

, то и все значения , начиная с некоторого места, будут

меньше , т.е.

.

Доказательство.

По определению предела

.

Возьмем в качестве

число, удовлетворяющее условиям:

; тогда

. Таким образом,

.

Если в качестве

взять число, удовлетворяющее условиям:

, то

.

Таким образом,

.

Свойство доказано.

Свойство 2.

Если

, то и все значения

, начиная с некоторого места, будут больше ,

т.е.

. Если

, то и все значения

, начиная с некоторого

места, будут меньше

, т.е.

.

Это свойство следует из свойства 1 при

и

.

Свойство 3.

Если

, то все значения

, начиная с некоторого места, будут больше по

абсолютной величине некоторого положительного числа, т.е.

,

.

Доказательство.

Пусть

;

возьмем число

такое, что

. По свойству 1 все значения

, начиная с некоторого места, будут больше

:

; тогда

.

Пусть

;

возьмем число

такое, что

. По свойству 1

все значения

, начиная с некоторого места, будут меньше

:

; тогда

.

Таким образом, начиная с некоторого места:

, где

или

, т.е.

,

.

Свойство доказано.

Свойство 4 (ограниченность). Сходящаяся последовательность

ограничена, т.е.

.

Доказательство.

По определению предела

.

Возьмем

; тогда

.

. Так как этих значений

конечное число, то можно выбрать среди них

наибольший по модулю:

. Пусть

; тогда

Определение. Бесконечно малой величиной (сокращенно: б.м.в.) называется

последовательность, стремящаяся к нулю:

б.м.в.

.

Используя понятие предела, можно дать следующее определение бесконечно

малой величины:

б.м.в.

.

Другими словами, последовательность

называется бесконечно малой

величиной, если значения

отличаются от нуля

сколь угодно мало , начиная с

некоторого места , т.е. для всех

достаточно больших номеров .

Замечание. Из определения следует:

б.м.в.

б.м.в.

б.м.в.

Примеры бесконечно малых величин.

1).

,

(см. Пример 1 из §1).

2).

,

(

фиксированное число).

Покажем, что эта последовательность является бесконечно малой величиной (при

получаем предыдущий пример).

б.м.в.

.

.

Пусть

, тогда при

имеем:

.

Таким образом:

, а это и означает, что

б.м.в., т.е.

.

В частности, бесконечно малыми величинами являются последовательности:

,

,

,

,

,

и т.д.

3).

,

(

фиксированное число).

Покажем, что эта последовательность является бесконечно малой величиной. При

это очевидно; пусть

.

б.м.в.

.