Материал: Введение в мат.анализ

66

(прологарифмируем это неравенство по основанию ; при этом

неравенство поменяет знак, т.к. основание логарифма

)

.

Пусть

(если

, то

;

;

тогда при

имеем:

.

Таким образом:

, а это и означает, что

б.м.в., т.е.

.

В частности, бесконечно малыми величинами являются последовательности:

,

,

,

и т.д.

Связь сходящейся последовательности с бесконечно малой величиной.

Дана сходящаяся последовательность

,

. Введем новую

последовательность

, где

.

По определению:

б. м. в.

б. м. в.

Таким образом, имеет место следующее утверждение.

Теорема. Для того чтобы последовательность

сходилась к числу

, необходимо и

достаточно, чтобы разность между ними

была бесконечно малой величиной.

Так как

, где

б. м. в., то

, где

б. м. в.

Поэтому утверждение теоремы можно записать в следующем виде:

где

б м в

Пример. Рассмотрим геометрическую прогрессию

. Составим последовательность

ее частичных сумм

, где

,

По формуле суммы первых

членов геометрической прогрессии (см. главу 2, § 2) имеем:

.

Получили равенство:

, где

б.м.в.

Следовательно,

. Полученный результат можно записать в виде:

(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

доказательство проводится аналогично. Пусть

и

б.м.в.; составим их сумму

,

. Пусть

; согласно определению бесконечно малой величины для

и

. Возьмем

; тогда при

выполнены оба неравенства:

и

.

Следовательно,

. Таким образом:

.

Это означает, что

б.м.в.

Свойство доказано.

бесконечно малая величина.

Доказательство. Пусть

б.м.в., а

ограниченная величина, т.е.

. Составим их произведение

. Пусть

;

согласно определению бесконечно малой величины для

; тогда

. Таким образом:

. Это означает, что

б.м.в.

Свойство доказано.

Следствие 1. Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину есть

бесконечно малая величина:

б.м.в.,

const

б.м.в.

Действительно, т.к. постоянная величина является ограниченной, то из свойства 2

получаем это утверждение.

Следствие 2. Произведение бесконечно малой величины на сходящуюся

последовательность есть бесконечно малая величина.

б.м.в.,

сходится

б.м.в.

Действительно, т.к. сходящаяся последовательность является ограниченной, то из

свойства 2 получаем это утверждение.

Следствие 3. Произведение любого конечного числа бесконечно малых величин есть

бесконечно малая величина:

,

б.м.в

б.м.в.

Действительно, бесконечно малая величина является сходящейся

последовательностью, а значит и ограниченной величиной; произведение ограниченных

величин естественно также является ограниченной. В результате имеем произведение

одной бесконечно малой величины

на другую ограниченную величину

.

Следовательно, получим бесконечно малую величину.

Примеры.

1.

, т.к.

б.м.в. (сумма 3-х б.м.в.).

68

2.

, т.к.

б.м.в. (произведение б.м.в. на ограниченную

величину).

3.

, т.к.

б.м.в. (произведение 2-х б.м.в.).

4. Пусть

. Рассмотрим последовательность

, где

частичные суммы

,

Покажем, что последовательность

сходится.

Воспользуемся очевидным тождеством:

.

Тогда можно записать:

. Итак:

, где

б.м.в. Следовательно (см.

теорему из §3),

, т.е.

.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию

,

. Составим

последовательность ее частичных сумм

, где

сумма первых

членов прогрессии.

По формуле (см. главу 2, § 2) имеем:

,

где

,

б.м.в. (произведение б.м.в. на постоянную величину).

, где

б.м.в.

.

Следовательно, последовательность частичных сумм

сходится и ее предел

равен

. Этот предел называется суммой бесконечно убывающей геометрической

прогрессии:

.

Например:

;

.

Даны последовательности

и

. Составим новые последовательности:

сумму,

разность,

произведение и

частное этих

Теорема. Пусть последовательности

и

сходятся:

,

. Тогда

сходятся их сумма, разность и произведение, причем:

1.

;

2.

;

если

, то сходится и частное этих последовательностей, причем:

3.

.

Доказательство. Так как последовательности

и

сходятся, то

,

,

где

и

б.м.в.

1.

отличается от

постоянного числа

на бесконечно малую величину

.

Согласно теореме из §3

заключаем, что

.

2.

отличается от постоянного числа

на бесконечно малую величину

. По теореме из §3 заключаем, что

.

3.

;

величина

б.м.в.; покажем, что величина

ограничена.