Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			76
;	;	.
Неопределенным же выражением будет		, когда и	стремятся к
бесконечности разных знаков. Например:
,	;	,	;
,	;	,
не имеет предела.
Следовательно, выражение		представляет собой неопределенность.

Таким образом, в случае арифметических действий с последовательностями возникают 4 типа неопределенностей:

В этих случаях надо учитывать не только значения пределов и этих величин, но

и закон изменения самих величин

и .

Предел отношения многочленов.

Отношение многочленов при

представляет собой неопределенность типа

, где

Если

, то

; если

, то

;

если

, то

Таким образом:

Например:

;				.

Пример.

Найти предел:		.

Решение.

Напишем первые члены формулы бинома Ньютона (см. §12 главы 1):

Тогда Следовательно:

Ответ. .

§ 8. Свойства пределов, связанные с неравенствами.

Теорема 1 (предельный переход в неравенстве).
Даны сходящиеся последовательности	и	:	,	.
Пусть выполнено неравенство:	, начиная с некоторого места.
Тогда выполнено и неравенство:	, т.е.		.
Доказательство.
Предположим, что это не так, т.е.	. Рассмотрим такие			окрестности точек
и , которые не пересекаются:				. При этом окрестность
и , которые не пересекаются:				. При этом окрестность
будет лежать на числовой оси левее окрестности			.

Так как

, то для этих точек выполняются неравенства:

, начиная с некоторого места. Но это противоречит заданному условию:

. Полученное противоречие и доказывает, что должно быть выполнено:									.
Теорема доказана.
Замечание 1. Из строгого неравенства:						не следует, вообще говоря,
строгое же неравенство для пределов:						. Например, для		и
строгое же неравенство для пределов:						. Например, для		и
имеем:			, но		.
Поэтому если			, то		.
Теорема 2 (о сжатой переменной).
Даны три последовательности				,	и	. Пусть выполнены неравенства:
		, начиная с некоторого места. Пусть существуют					,		и
		. Тогда существует			.
Доказательство.	Пусть		. По определению предела имеем:
				и					.

Возьмем	. Тогда	выполняются неравенства:
			.
Итак,		. Это и означает, что	.
Теорема доказана.

Замечание 2. Теоремы 1 и 2 распространяются и на случай бесконечно больших величин.

Пример 1.		.			;
Пример 1.		.
Действительно:												. По теореме о сжатой
Действительно:												. По теореме о сжатой
переменной можно утверждать:							.
переменной можно утверждать:							.
				.
Пример 2.				.
Чтобы доказать это, рассмотрим 3 случая:								1)		;	2)			;	3)		.
1)		1.
1)		1.
2)				; введем обозначение:											.
2)	; в этом случае			; введем обозначение:							,				.
Применим неравенство Бернулли (см. § 12 главы 1):
													.


Имеем неравенства:									, при этом								.


По теореме о сжатой переменной можно утверждать:																. Это
По теореме о сжатой переменной можно утверждать:																. Это
равносильно утверждению:
равносильно утверждению:				.

3)	; в этом случае			и по доказанному выше утверждению													.
3)	; в этом случае			и по доказанному выше утверждению													.
Так как			, то											.






Пример 3.							.
Докажем это утверждение. Заметим, что здесь имеем неопределенность типа											.
																		;
				и							.							;


По теореме о сжатой переменной:											.
Частные случаи этого утверждения:

				;													.
				;													.

Пример 4.						.
Пример 4.						.
Докажем это утверждение.

Заметим, что здесь мы имеем неопределенность типа

, т.к.

Выполним следующие преобразования:

Так как

, то

. Тогда

Пример 5.

фиксированные числа

Действительно, при

имеем:

; а при

имеем:

Пример 6.

фиксированные числа

Здесь имеем неопределенность типа

Для доказательства рассмотрим следующие случаи: 1)

; 2)

; 3)

; введем обозначение:

По формуле бинома Ньютона имеем:

. Тогда

Следовательно,

;

, где

; согласно пункту 1)

Пример 7.

Для доказательства воспользуемся неравенством из предыдущего примера:

при

; очевидно, что

при

Тогда получим:

Возьмем

, т.е.

или:

. Так как

, то по теореме о сжатой

переменной

, что равносильно условию:

Пример 8.

Докажем это утверждение. Здесь имеем неопределенность типа

Для произвольного числа

выполняется неравенство

. Так как

, то

(см. §2, свойство 1). Логарифмируя это неравенство по

основанию

, получим:

. Итак,

. Это и

означает, что

§9. Монотонные последовательности.

В§3 главы 2 были введены понятия монотонной последовательности и ограниченной последовательности. Напомним эти понятия.

Определение. Последовательность		называется возрастающей (строго
возрастающей), если для всех натуральных		, начиная с какого-то номера, верно
неравенство:	. Обозначение:		.
Последовательность	называется	убывающей (строго убывающей), если для
всех натуральных , начиная с какого-то номера, верно неравенство:
. Обозначение:	.
Последовательность	называется	монотонной (строго монотонной), если она

является возрастающей (строго возрастающей) или убывающей (строго убывающей).

	Определение. Последовательность			называется ограниченной сверху, если
	такое, что	выполняется неравенство:			.
	Последовательность		называется ограниченной снизу, если				такое, что
	выполняется неравенство:			.
	Последовательность		называется ограниченной, если			такие, что
	выполняются неравенства:			(или			).
	Последовательность		называется неограниченной, если она не является
ограниченной:				.
Теорема (о сходимости монотонной и ограниченной последовательности).
	1). Возрастающая и ограниченная сверху последовательность					сходится:
	и				.
	2). Убывающая и ограниченная снизу последовательность сходится:
	и				.

Доказательство.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)