Материал: Введение в мат.анализ

81

Докажем утверждение 1). Пусть

возрастающая и ограниченная сверху

последовательность. Так как

ограничена сверху, то у множества ее значений

существует точная верхняя грань или супремум (см. §10 главы 1):

.

Покажем, что это число

и будет пределом последовательности

. По определению

супремума

. Пусть

, тогда

и по свойству супремума (см.

§10 главы 1) существует элемент

множества значений

такой, что

. Этот

элемент

одно из значений

, поэтому

.

Итак,

. Так как

, то

. С другой стороны,

. Это и означает, что

.

Утверждение 2) доказывается аналогично.

Замечание. Если

и не ограничена сверху, то

б.б.в., точнее

.

Если

и не ограничена снизу, то

б.б.в., точнее

.

Пример 1.

фиксированное число .

Для доказательства рассмотрим 2 случая:

1)

; 2)

.

1)

;

.

2)

; в этом случае имеем неопределенность типа

.

Пусть

, тогда

. Начиная с некоторого места,

будет выполняться неравенство:

и, значит,

, т.е.

; кроме того,

, т.е.

ограничена снизу. Следовательно,

.

Найдем значение числа . Для этого перейдем к пределам в равенстве

:

.

Пример 2.

Последовательность

задана рекуррентным соотношением:

, где

фиксированн е числ

,

н е числ

.

Требуется найти

.

Сначала докажем, что эта последовательность сходится.

Заметим, что

.

Представим

в следующем виде:

, где

.

Воспользуемся известным неравенством:

(сумма взаимно-обратных

положительных чисел всегда больше или равна двум). Тогда получим:

.

82

.

Итак,

. Следовательно,

; кроме того,

ограничена снизу

числом

(или числом 0). Согласно доказанной теореме последовательность сходится.

Пусть

. Чтобы найти значение числа , в формуле

перейдем к пределам:

.

Таким образом,

.

квадратного корня из положительного числа

с помощью последовательных

приближений:

,

.

Число .

В §3 главы 2 рассматривалась последовательность с общим членом

.

Было показано, что

возрастает и ограничена:

.

Следовательно, эта последовательность сходится. Ее предел обозначают буквой

:

.

Число является иррациональным числом, которое можно вычислить

приближенно с любой заданной точностью по формуле:

, где

(см. ).

Его разложение в десятичную дробь имеет следующий вид:

Замечание. Число можно задать и по формуле:

,

где

любая б.б.в.:

(см. [2]).

Число

имеет исключительную важность не только в математическом анализе, но

и во многих его приложениях.

Логарифмы по основанию

называются натуральными логарифмами и

обозначаются знаком :

.

Показательная функция с основанием (обратная к натуральному логарифму)

называется экспонентой .

Лемма о вложенных промежутках.

Утверждение, которое называется леммой о вложенных промежутках, в

дальнейшем будет применяться при изучении математического анализа.

Лемма.

Пусть дана последовательность вложенных друг в друга промежутков

,

Доказательство.

По условию теоремы имеем:

. Это означает, что

последовательность

, а последовательность

. Кроме того, эти

последовательности ограничены числами

.

Следовательно, они имеют пределы:

,

,

причем

, т.е.

Обозначим этот общий

предел буквой . Так как

, то точка

принадлежит всем этим

промежуткам, т.е. является общей для них.

Покажем единственность такой общей точки. Пусть

еще одна общая точка для

всех промежутков, т.е.

Тогда

. По теореме

о сжатой переменной (см. §8) имеем:

, т.е.

Теорема 1 (признак сходимости Больцано-Коши).

Для сходимости последовательности

необходимо и достаточно, чтобы

и

.

(т.е. чтобы значения

отличались друг от друга

сколь угодно мало , начиная с

некоторого места ).

Теорема 2 (признак сходимости Больцано-Коши).

Для сходимости последовательности

необходимо и достаточно, чтобы

и .

Пример.

,

. С помощью признака сходимости Больцано-

84

.

Таким образом:

. Для

возьмем

целую часть

числа

; тогда для

будет

и значит,

и .

Следовательно, последовательность

сходится.

Из признака сходимости Больцано-Коши можно получить и признак расходимости

последовательности, если записать отрицание к признаку сходимости.

Теорема 3 (признак расходимости).

Для расходимости последовательности

необходимо и достаточно, чтобы

и

.

Равносильная формулировка этого признака запишется в следующем виде.

Теорема 4 (признак расходимости).

Для расходимости последовательности

необходимо и достаточно, чтобы

и

.

Пример.

,

. С помощью признака расходимости покажем,

что эта последовательность расходится. Применим теорему 4.

.

Возьмем

; пусть

любое натуральное число и

; возьмем

; тогда

.

Итак,

и

. Следовательно,

последовательность

расходится.

§ 11. Дополнение.

Пример 1. Последовательность

задана рекуррентным соотношением:

,

,

,

, где

и

заданные числа

Доказать сходимость этой последовательности и найти

.

Решение. Введем обозначение:

,

,

. Тогда

.