Материал: Введение в мат.анализ

86

Прежде чем перейти к следующему примеру, вспомним некоторые понятия.

Средним арифметическим двух чисел

и

называется число

; средним

геометрическим двух чисел

и называется число

.

Число называется средним гармоническим чисел

и , если обратное к нему

число

является средним арифметическим для обратных чисел

и

, т.е.

, откуда

. Другими словами, средним гармоническим чисел и

называется число

.

Пример 3. Даны положительные числа

и

. Составим две последовательности

и

по следующим формулам:

,

,

,

,

… ,

,

, …

Доказать, что последовательности

и

сходятся к одному и тому же пределу

и найти этот предел.

Решение. Если

, то

, т.е.

. При этом

, т.к.

и

, т.к.

.

Аналогично:

, т.е.

;

при этом

и

. И так далее:

, т.е.

и

,

.

Итак, последовательность

возрастает, а

убывает; причем обе

последовательности ограничены числами

и

:

…

.

Следовательно (см. теорему из §9), последовательности

и

сходятся:

,

. Перейдя к пределам в равенстве

, получим:

, или

, т.е. последовательности сходятся к одному и тому же пределу.

Найдем этот предел. Перемножая равенства

,

, получим:

. Следовательно:

. Перейдя к

пределу в равенстве

, получаем:

или

.

Ответ.

.

Замечание. Результат разобранного примера можно сформулировать так: среднее

арифметико-гармоническое двух чисел

и

равно их среднему геометрическому.

Для вычисления пределов последовательностей вида

, где

, бывает

полезной следующая теорема.

Теорема Штольца.

Даны две последовательности

и

, причем

и

. Тогда

1) если

, то

и

;

2) если

, то и

.

Доказательство теоремы Штольца можно найти в

и .

Следствие 1. Дана последовательность

. Тогда

1) если

, то

и

;

2) если

, то и

.

Доказательство.

Возьмем

; тогда

и

. Далее применяем

Следствие 2. Дана последовательность

. Тогда

1) если

, то

и

;

2) если

, то и

.

Доказательство. Пусть

; тогда

.

Далее применяем Следствие 1:

.

Замечание. Следствие 2 утверждает, что если последовательность

имеет предел

(конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и последовательность

среднее арифметическое первых значений

.

Например,

, т.к.

(см. §8, пример 7).

Пример. Найти предел последовательности

,

где

фиксированное натуральное число.

Решение. Пусть

,

; тогда

и

;

;

По теореме Штольца:

предел

отношения многочленов с одинаковыми степенями (см.

).

Ответ.

.

Наряду с последовательностью

рассмотрим какую-либо извлеченную из нее

частичную последовательность (или подпоследовательность):

,

где

некоторая последовательность возрастающих натуральных чисел:

Если последовательность

имеет конечный предел, то тот же предел,

очевидно, имеет и подпоследовательность

; если же

, то и

.

Если последовательность

не имеет конечного предела, то это не исключает

Такой предел называется частичным пределом последовательности

.

Например, последовательность

не имеет

предела, но у нее есть частичные пределы:

;

.

Выясним, всегда ли у последовательности существуют частичные пределы.

На этот вопрос можно ответить утвердительно в случае, когда последовательность

не ограничена. А именно:

если

не ограничена сверху, то существует подпоследовательность

;

если

не ограничена снизу, то существует подпоследовательность

;

если

не ограничена, то существует подпоследовательность

.

Поэтому можно сказать, что для неограниченных последовательностей существуют

частичные пределы, равные (или

).

Утвердительный ответ будет и в случае ограниченной последовательности. Но это

утверждение требует более внимательного подхода к данному вопросу.

конечному пределу подпоследовательность.

Доказательство. Пусть

. Разделим промежуток

пополам; тогда

последовательности (в противном случае во всем промежутке

содержалось бы

конечное число элементов последовательности, что невозможно).

Обозначим через

тот промежуток, в котором содержится бесконечное

множество элементов (если обе половины - таковы, то обозначаем любую из них).

Очевидно, что

. Аналогично, из промежутка

выделим его половину

, в которой содержится бесконечное множество элементов

. При этом

. Продолжая этот процесс, на - том шаге получим промежуток

, в

89

котором содержится бесконечное множество элементов

, при этом

.

Так как

, то по Лемме о вложенных промежутках (см. §9) последовательности

и

стремятся к общему пределу:

,

при

.

Далее построим частичную последовательность

следующим образом.

В качестве

возьмем любой из элементов

, содержащихся в

. В качестве

возьмем любой из элементов

, следующих за

и содержащихся в

,

и так далее. Вообще, в качестве

возьмем любой из элементов , следующих за ранее

выделенными

, , … ,

и содержащихся в

.

Возможность такого выбора обусловливается именно тем, что каждый из

промежутков

содержит бесконечное множество элементов

. Далее имеем:

,

,

при

.

Тогда по теореме о сжатой переменной (см. §8) существует

. Лемма доказана.

§ 10. Раскрытие неопределенностей……………………………………………………

119

§ 11. Признаки существования предела функции …………………………….…

123