Материал: Введение в мат.анализ

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	96
Здесь представлен график функции	. Эта функция производит

бесконечное множество колебаний и все эти колебания умещаются в конечном
промежутке, сгущаясь к 0. Аналогично и для функции		.

	§ 2.	Свойства пределов функций.
Предел постоянной величины:			.
	Действительно, для		можно взять любое		; тогда при
имеем:			. Следовательно:		.
Единственность предела:
если	при	или	или	существует, то он единственен.
	В §1 главы 3 показана единственность предела последовательности. Из
равносильности 2-х определений предела функции (на языке					- и на языке

последовательностей) вытекает и единственность предела функции.

Простейшие свойства пределов.

Пусть	при	или	или		.
1. Если число такое, что		, то и		для всех из некоторой проколотой
окрестности	:	:			.
Если число	такое, что	, то и	для всех		из некоторой проколотой
окрестности	:	:			.

	При	и	запись этого свойства нужно уточнить.
1.1)	;
	:			;		:
1.2)	;
	:			;		:
1.3)	;
	:			;	:

		.
		.

1.4)	;
		:		;	:	.
1.5)	;
		:			;
		:			.
2.	Если	, то и		для всех	из некоторой проколотой окрестности
:		:			.
Если		, то и	для всех		из некоторой проколотой окрестности	:
		:		.

3. Если	, то все значения		будут больше по абсолютной величине
некоторого положительного числа в некоторой проколотой окрестности						:
					.
4 (об ограниченности). Функция, имеющая предел				ограничена в некоторой
проколотой окрестности		:
					.
При	и	запись свойств 2 4 также следует уточнить, как это
сделано для свойства 1.

Свойства пределов, связанные с неравенствами.

5 (предельный переход в неравенстве).
Заданы функции		и	. Пусть			,	при	и выполнено
неравенство:		для всех значений				из некоторой проколотой окрестности
. Тогда	.
6 (о сжатой функции).
Заданы три функции			,	,	и выполнены неравенства:
	для всех значений				из некоторой проколотой окрестности				.
Пусть существуют			,		и			.
Тогда существует и		, причем				.

Замечание. Свойства 5 и 6 верны и в случае односторонних пределов и в случае пределов на бесконечности: при и .

Справедливость всех этих свойств следует из аналогичных свойств пределов для последовательностей (§ и § главы и равносильности определений пределов на языке - и на языке последовательностей.

Справедливо следующее утверждение.
Теорема (о замене переменной или о пределе сложной функции).
Пусть существуют пределы:			и	, причем
		. Тогда существует		и
			.
Доказательство.
Воспользуемся определением предела на языке последовательностей. Для
			и		.
Сложная функция		определена в некоторой проколотой окрестности			.
Возьмем	;	тогда
		. Получаем:			.
Это означает, что		.	Теорема доказана.
Теорема верна также и в случае односторонних пределов и пределов на .
Пример.

			см Пример §	.
			см Пример §	.
		см Пример
Замечание.
Без требования:			утверждение теоремы было бы неверным.
Следствие.
Пусть существуют пределы:			и	. Тогда
существует	.
Доказательство.
Так как		и	, то здесь повторяется
доказательство теоремы с тем лишь отличием, что не надо требовать выполнения
условия:	.

§ 3. Бесконечно малые функции.

Определение 1. Бесконечно малой функцией или бесконечно малой величиной (б.м.в.)

при	называется функция		, предел которой при
	равен нулю:
				.
Символически это можно записать так:
б.м.в. при				;
б.м.в. при				;
б.м.в. при				;
б.м.в. при				;
б.м.в. при				;
б.м.в. при				.
Например:	б.м.в. при	;	б.м.в. при	.
Например:	б.м.в. при	;	б.м.в. при	.

Дадим определение бесконечно малой величины на языке последовательностей.

Определение 2.	Функция	называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при
	, если для любой последовательности				,		, сходящейся к
числу	, соответствующая		последовательность		значений	функции
стремится к 0:
						.
Функция	называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при						, если
для любой последовательности			,	, соответствующая
последовательность значений функции				стремится к 0:
б.м.в. при						;
б.м.в. при						;
б.м.в. при						.

Пример.

, где

б.м.в. при

Докажем это на языке -

. По определению:

б.м.в. при

. Для

возьмем

; тогда:

, что и требовалось доказать.

Например, функции:

б.м.в. при

Замечание.

Из определения б.м.в. следует:

б.м.в.

Связь функции, имеющей предел, с бесконечно малой величиной.

	Дана функция	,	. Введем функцию				. Тогда

						б. м. в. при
	б. м. в. при	.
	Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.				б. м. в. при		, или:
				, где	б. м. в. при		.
	Например:	б.м.в. при		, т.к.		.
	Аналогичные утверждения верны при			и при		.
Теорема 2.				б. м. в. при		, или:
				, где		б. м. в. при	.
Теорема 3.				б. м. в. при		, или:
				, где	б. м. в. при		.

Свойства бесконечно малых функций.

Свойство 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция:

,	… ,	б. м. в. при
	…	б. м. в. при

Свойство 2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть

бесконечно малая функция:

ограниченная функция,	б. м. в. при
б. м. в. при

100

Следствие 1. Произведение бесконечно малой функции на постоянную величину есть бесконечно малая функция:

б. м. в. при , const б. м. в. при

Следствие 2. Произведение бесконечно малой функции на функцию, имеющую предел,

есть бесконечно малая функция:
,	б. м. в. при	б. м. в. при

Следствие 3. Произведение любого конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция:

, … , б. м. в. при

…б. м. в. при

Аналогичные утверждения верны при

и при

Эти свойства и следствия вытекают из аналогичных свойств и следствий для

последовательностей (см. §4 главы 3) и равносильности 2-х определений предела

функции (на языке - и на языке последовательностей).

Примеры.

, т.к.

б.м.в. при

(сумма 2-х б.м.в. при

, т.к.

б.м.в. при

(произведение б.м.в.

на

функцию, имеющую предел при

, т.к.

б.м.в. при

(произведение б.м.в. при

на ограниченную функцию).

. Здесь аналогично Примеру 3.

§4. Арифметические действия с пределами.

Вглаве 3 доказаны свойства пределов последовательностей, связанные с арифметическими действиями. Эти же свойства верны и для функций, так как

определения пределов на языке		- и на языке последовательностей равносильны.
Теорема. (Правила вычисления пределов функций).
Заданы функции	,	и	. Пусть	,	при	.
Тогда сумма, разность и произведение, а при			и частное функций		и	имеют
предел. При этом выполнены равенства:

1.;

2.	;
3.	;

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)